《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 如图,在直径为$AB$的半圆内,画出一个三角形区域,使三角形的一边为$AB$,顶点$C$在半圆周上,其他两边分别为6和8,现要建造一个内接于$\triangle ABC的矩形建筑物DEFN$,其中$DE在AB$上,设计方案是使$AC= 8$,$BC= 6$.
(1)求$\triangle ABC中边AB上的高h$;
(2)设$DN= x$,当$x$取何值时,建筑物$DEFN$所占区域的面积最大?
(3)实际施工时,发现在边$AB上距点B$1.85的$K$处有一处文物,问:这处文物是否位于最大建筑物的边上?如果在,为保护文物,请设计出你的方案,使满足条件的内接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避开文物.

答案：
(1)如图，过点C作CM⊥AB于点M，则CM=h，在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。根据三角形面积公式得S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×h，所以h=(AC·BC)/AB=8×6/10=4.8。
(2)如图，NF//AB，所以△CNF∽△CAB，所以(h-DN)/h=NF/AB，所以NF=10(4.8-x)/4.8=-25/12(x-4.8)，所以S矩形DEFN=NF·x=-25/12(x²-4.8x)=-25/12(x-2.4)²+12，则当x=2.4时，S矩形DEFN最大。
(3)当S矩形DEFN最大时，x=2.4，由
(1)知CM=4.8，因为EF=1/2CM=2.4，所以F为BC的中点，所以BF=1/2BC=3。在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3，所以EB=√(BF²-EF²)=√(3²-2.4²)=1.8。因为BK=1.85，所以BK＞EB，故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案。因为x=2.4时，AN=4，所以AD=√(AN²-DN²)=√(4²-2.4²)=3.2。由圆的对称性知，满足题设条件的设计方案是将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且点C在半圆周上的△ABC中。

2. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标$x$表示科技馆从8:30开门后经过的时间($\min$),纵坐标$y$表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为$y= \begin{cases}ax^{2}(0\leqslant x\leqslant30),\\b(x-90)^{2}+n(30\leqslant x\leqslant90).\end{cases} $10:00之后来的游客较少可忽略不计.
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式.
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00,馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624时,馆外等待的游客可全部进入.馆外游客最多等待多少分钟?

答案：
(1)由图像可知300=a×30²，解得a=1/3；n=700，b×(30-90)²+700=300，解得b=-1/9。所以y={1/3x²(0≤x≤30),-1/9(x-90)²+700(30≤x≤90)}。
(2)由题意令-1/9(x-90)²+700=684，解得x=78，所以(684-624)÷4=15(min)，所以15+30+(90-78)=57(min)，所以馆外游客最多等待57 min。