《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 有两条抛物线$y= x^2 - 3x$,$y= -x^2 + 9$,通过点$P(t,0)且平行于y$轴的直线,分别交这两条抛物线于点$A和点B$,当$t$在0到3的范围内变化时,求线段$AB$的最大值.
【分析】过点$P(t,0)且平行于y轴的直线即为直线x= t$,代入$y= x^2 - 3x$,$y= -x^2 + 9$中,可求$A$、$B$两点的纵坐标,将两点的纵坐标作差得线段$AB$长的表达式,求表达式的最大值即可.
【解答】将$x= t分别代入y= x^2 - 3x$,$y= -x^2 + 9$中,得点$A和点B的纵坐标分别为t^2 - 3t$,$-t^2 + 9$,
所以$AB= (-t^2 + 9)-(t^2 - 3t)= -2t^2 + 3t + 9= -2\left(t - \frac{3}{4}\right)^2+\frac{81}{8}$,
所以当$t= \frac{3}{4}$时,线段$AB取得最大值\frac{81}{8}$.

答案： 解：将$x = t$分别代入$y = x^2 - 3x$，$y = -x^2 + 9$中，得点$A$的纵坐标为$t^2 - 3t$，点$B$的纵坐标为$-t^2 + 9$。
$AB = (-t^2 + 9) - (t^2 - 3t) = -2t^2 + 3t + 9$
$AB = -2\left(t^2 - \frac{3}{2}t\right) + 9 = -2\left(t^2 - \frac{3}{2}t + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}\right) + 9 = -2\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} + 9 = -2\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{81}{8}$
因为$-2 ＜ 0$，抛物线开口向下，当$t = \frac{3}{4}$时，$AB$取得最大值，最大值为$\frac{81}{8}$。
答：线段$AB$的最大值为$\frac{81}{8}$。

1. 二次函数$y= -x^2 - 2x + c在-3\leq x\leq2的范围内有最小值-5$,则$c$的值是( )

A.$-6$
B.$-2$
C.2
D.3

答案： D

2. $y= x^2 + (1 - a)x + 1是关于x$的二次函数,当$x的取值范围是1\leq x\leq3$时,$y在x= 1$时取得最大值,则实数$a$的取值范围是( )

A.$a\leq -5$
B.$a\geq5$
C.$a= 3$
D.$a\geq3$

答案： B

3.(丹东中考题)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量会随之降低.若该果园每棵果树产果量$y(kg)$、增种果树$x(棵)$之间的函数关系如图所示.

(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750kg？
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量$w(kg)$最大？最大产量是多少？

答案：
(1) y = -0.5x + 80.
(2) 根据题意，得(-0.5x + 80)(80 + x) = 6750，
解得x₁ = 10，x₂ = 70.
因为投入成本最低，所以x₂ = 70不合题意，舍去.
所以增种果树10棵时，果园可以收获果实6750kg.
(3) 根据题意，得w = (-0.5x + 80)(80 + x) = -0.5(x - 40)² + 7200，所以当x = 40时，w取得最大值7200.
所以当增种果树40棵时，果园的总产量最大，最大产量是7200kg.