《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 当$-2\leq x\leq2$时,求函数$y= x^2 - 2x - 3$的最大值和最小值.
【分析】作出函数在所给范围的图像,观察图像的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量$x$的值.
【解答】作出函数的图像,如图1所示,当$x= 1$时,$y_{最小}= -4$；当$x= -2$时,$y_{最大}= 5$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数在给定区间上的最值问题。
首先，我们可以将给定的二次函数$y = x^2 - 2x - 3$进行配方，得到$y = (x - 1)^2 - 4$。
由此，我们可以知道，这是一个开口向上的抛物线，其对称轴为$x = 1$，并且顶点坐标为$(1, -4)$。
接下来，我们需要考虑在给定区间$[-2, 2]$上，这个二次函数的最值情况。
由于抛物线开口向上，所以在对称轴$x = 1$处取得最小值，即$y_{min} = -4$。
然后，我们需要找到区间端点处的函数值，以确定最大值。
当$x = -2$时，$y = (-2 - 1)^2 - 4 = 5$；
当$x = 2$时，$y = (2 - 1)^2 - 4 = -3$。
比较这两个值，我们可以发现当$x = -2$时，$y$取得最大值，即$y_{max} = 5$。
【答案】：
当$x = 1$时，$y_{最小} = -4$；当$x = -2$时，$y_{最大} = 5$。

例2 当$t\leq x\leq t + 1$时,求函数$y= \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2}$的最小值(其中$t$为常数).
【分析】由于$x所给的范围随着t$的变化而变化,所以需要比较函数图像的对称轴与其取值范围的相对位置.
【解答】函数$y= \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2}图像的对称轴为x= 1$.画出其草图,如图2所示.

若对称轴在所给范围左侧,即$t＞1$,当$x= t$时,$y_{最小}= \frac{1}{2}t^2 - t - \frac{5}{2}$；
若对称轴在所给范围之间,即$t\leq1\leq t + 1$,$0\leq t\leq1$,当$x= 1$时,$y_{最小}= \frac{1}{2}×1^2 - 1 - \frac{5}{2}= -3$；
若对称轴在所给范围右侧,即$t + 1＜1$,$t＜0$,当$x= t + 1$时,$y_{最小}= \frac{1}{2}(t + 1)^2-(t + 1)-\frac{5}{2}= \frac{1}{2}t^2 - 3$.
综上所述：$y= \begin{cases}\frac{1}{2}t^2 - 3(t＜0),\\-3(0\leq t\leq1),\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{5}{2}(t＞1).\end{cases} $

答案： 【解析】：本题考查二次函数最值的讨论，
需要分情况讨论对称轴与所给范围的关系，
对于二次函数$y= \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2}$，
其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×\frac{1}{2}} = 1$，
当$t\gt1$时，
在$t\leq x\leq t + 1$这个范围内，函数$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x = t$时，$y$取得最小值，
$y_{min}=\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{5}{2}$，
当$t\leq1\leq t + 1$，
即$0\leq t\leq1$时，对称轴$x = 1$在$t\leq x\leq t + 1$范围内，
所以当$x = 1$时，$y$取得最小值，
$y_{min}=\frac{1}{2}×1^2 - 1 - \frac{5}{2}=-3$，
当$t + 1\lt1$，
即$t\lt0$时，在$t\leq x\leq t + 1$这个范围内，函数$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x = t + 1$时，$y$取得最小值，
$y_{min}=\frac{1}{2}(t + 1)^2-(t + 1)-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}t^2 - 3$，
【答案】：$y = \begin{cases}\frac{1}{2}t^2 - 3(t\lt0),\\-3(0\leq t\leq1),\\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{5}{2}(t\gt1).\end{cases}$