《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例2 已知0≤a≤4,那么|a-2| + |3-a|的最大值等于( )
A. 1 B. 5
C. 8 D. 3
【分析】解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的字母的值,这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.在每个分段后的范围内,去掉绝对值符号.
【解答】①当0≤a≤2时,|a-2| + |3-a|= 2-a+3-a= 5-2a,当a= 0时,|a-2| + |3-a|取得最大值,最大值是5；
②当2＜a＜3时,|a-2| + |3-a|= a-2+3-a= 1；
③当3≤a≤4时,|a-2| + |3-a|= a-2-(3-a)= 2a-5,当a= 4时,|a-2| + |3-a|取得最大值,最大值是3.
综上可知,当0≤a≤4时,|a-2| + |3-a|的最大值是5.故选B.

答案： 【解析】：本题主要考察绝对值的性质和最大值的求解。
首先，需要找出使各个绝对值等于零的a的值，这些值（即$a=2$和$a=3$）将$a$的取值范围分为三个区间：$0\leq a \leq 2$，$2 \lt a \lt 3$，和$3\leq a \leq 4$。
然后，在每个区间内分别计算$|a-2| + |3-a|$的值，并找出最大值。
具体计算如下：
当$0\leq a \leq 2$时，$|a-2| + |3-a| = 2-a+3-a = 5-2a$，
在这个区间内，$5-2a$随着$a$的增大而减小，
所以当$a=0$时取得最大值5。
当$2 \lt a \lt 3$时，$|a-2| + |3-a| = a-2+3-a = 1$，
在这个区间内，表达式的值恒为1。
当$3\leq a \leq 4$时，$|a-2| + |3-a| = a-2-(3-a) = 2a-5$，
在这个区间内，$2a-5$随着$a$的增大而增大，
所以当$a=4$时取得最大值3。
综合以上三个区间，可以得出当$0\leq a \leq 4$时，$|a-2| + |3-a|$的最大值是5。
【答案】：B。

例3 阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1(1),则a= 0,|AB|= |b|,即|AB|= |0-b|= |a-b|.
当A、B两点都不在原点时.
①如图1(2),点A、B都在原点的右边,|AB|= |OB| - |OA|= |b| - |a|= b - a= |a - b|；
②如图1(3),点A、B都在原点的左边,|AB|= |OB| - |OA|= |b| - |a|= -b - (-a)= |a - b|；
③如图1(4),点A、B分别在原点的两边,|AB|= |OB| + |OA|= |a| + |b|= a + (-b)= |a - b|.

回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示-1和-5的两点之间的距离是______；
(3)数轴上表示1和-4的两点之间的距离是______；
(4)数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是______；如果|AB|= 2,那么x的值是______.
【分析】第(1)(2)(3)小题可直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|= |a - b|,代入数值即可求任意两点间的距离.第(4)小题求出A、B两点间的距离表达式,然后令|AB|= 2解得x的值即可.
【解答】(1)|2 - 5|= 3.
(2)|-1 - (-5)|= 4.
(3)|1 - (-4)|= 5.
(4)|AB|= |x + 1|,令|x + 1|= 2,解得x= 1或x= -3.

答案： 【解析】：
(1)根据数轴上两点间的距离公式$|AB| = |a - b|$，这里$a = 2$，$b = 5$，则两点间的距离为$|2 - 5| = 3$。
(2)同样根据公式，$a=-1$，$b = - 5$，两点间距离为$|-1-(-5)|=|-1 + 5| = 4$。
(3)按照公式，$a = 1$，$b=-4$，两点间距离为$|1-(-4)|=|1 + 4| = 5$。
(4)数轴上表示$x$和$-1$的两点$A$、$B$之间的距离$|AB| = |x-(-1)|=|x + 1|$。
令$|x + 1| = 2$，则$x + 1 = 2$或$x + 1=-2$。
当$x + 1 = 2$时，解得$x = 2 - 1=1$；当$x + 1=-2$时，解得$x=-2 - 1=-3$。
【答案】：
(1)$3$；
(2)$4$；
(3)$5$；
(4)$|x + 1|$；$1$或$-3$。

例4 关于x的方程|x - 2| + |2x + 3|= |3x + 1|的x的取值范围是______.
【分析】利用零点分段法,去绝对值解方程.
【解答】当x≥2时,x - 2 + 2x + 3= 3x + 1恒成立；
当$-\frac{1}{3}$＜x＜2时,2 - x + 2x + 3= 3x + 1,解得x= 2,不成立；
当$-\frac{3}{2}$＜x≤$-\frac{1}{3}$时,2 - x + 2x + 3= -3x - 1,解得x= $-\frac{3}{2}$,不成立；
当x≤$-\frac{3}{2}$时,2 - x - 2x - 3= -3x - 1恒成立,
综上可知方程成立的x的范围是x≤$-\frac{3}{2}$或x≥2,
故答案为：x≤$-\frac{3}{2}$或x≥2

答案： 解：令$x - 2 = 0$，$2x + 3 = 0$，$3x + 1 = 0$，解得零点为$x = 2$，$x = -\frac{3}{2}$，$x = -\frac{1}{3}$。
当$x\geq2$时，方程化为$x - 2 + 2x + 3 = 3x + 1$，即$3x + 1 = 3x + 1$，恒成立；
当$-\frac{1}{3} ＜ x ＜ 2$时，方程化为$2 - x + 2x + 3 = 3x + 1$，解得$x = 2$，不满足$-\frac{1}{3} ＜ x ＜ 2$，舍去；
当$-\frac{3}{2} ＜ x\leq-\frac{1}{3}$时，方程化为$2 - x + 2x + 3 = -3x - 1$，解得$x = -\frac{3}{2}$，不满足$-\frac{3}{2} ＜ x\leq-\frac{1}{3}$，舍去；
当$x\leq-\frac{3}{2}$时，方程化为$2 - x - 2x - 3 = -3x - 1$，即$-3x - 1 = -3x - 1$，恒成立。
综上，$x$的取值范围是$x\leq-\frac{3}{2}$或$x\geq2$。
故答案为：$x\leq-\frac{3}{2}$或$x\geq2$