《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例 1 判定下列关于 $x$ 的方程的根的情况(其中 $a$ 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)$x^{2}-3x+3= 0$；
(2)$x^{2}-ax-1= 0$；
(3)$x^{2}-ax+(a-1)= 0$.
【解答】(1)$\because\Delta=3^{2}-4×1×3= -3＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根.
(2)该方程的根的判别式 $\Delta=a^{2}-4×1×(-1)= a^{2}+4＞0$,
所以方程一定有两个不等的实数根：$x_{1}= \frac{a+\sqrt{a^{2}+4}}{2}$,$x_{2}= \frac{a-\sqrt{a^{2}+4}}{2}$.

(3)由于该方程的根的判别式为 $\Delta=a^{2}-4×1×(a-1)= a^{2}-4a+4= (a-2)^{2}$,
所以,① 当 $a= 2$ 时,$\Delta=0$,
所以方程有两个相等的实数根：$x_{1}= x_{2}= 1$；
② 当 $a\neq2$ 时,$\Delta＞0$,
所以方程有两个不相等的实数根：$x_{1}= 1$,$x_{2}= a-1$.
【解题反思】在第 3 小题中,方程的根的判别式的符号随着 $a$ 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对 $a$ 的取值情况进行讨论,这一方法叫作分类讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

答案： 【解析】：本题主要考查一元二次方程根的判别式以及分类讨论的思想。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），其判别式$\Delta = B^2 - 4AC$。
当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。
（1）对于方程$x^2 - 3x + 3 = 0$，其中$A = 1$，$B = -3$，$C = 3$，计算判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×3 = 9 - 12 = -3\lt0$，所以方程没有实数根。
（2）对于方程$x^2 - ax - 1 = 0$，其中$A = 1$，$B = -a$，$C = -1$，计算判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-1) = a^2 + 4$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，所以$a^2\geq0$，则$a^2 + 4\gt0$，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式$x = \frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}$，可得$x_1 = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$，$x_2 = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$。
（3）对于方程$x^2 - ax + (a - 1) = 0$，其中$A = 1$，$B = -a$，$C = a - 1$，计算判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$。
当$a = 2$时，$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根，根据求根公式可得$x_1 = x_2 = 1$。
当$a\neq2$时，$\Delta\gt0$，方程有两个不相等的实数根，根据求根公式可得$x_1 = 1$，$x_2 = a - 1$。
【答案】：
(1) 方程$x^2 - 3x + 3 = 0$没有实数根；
(2) 方程$x^2 - ax - 1 = 0$有两个不相等的实数根，$x_1 = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$，$x_2 = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$；
(3) 当$a = 2$时，方程$x^2 - ax + (a - 1) = 0$有两个相等的实数根，$x_1 = x_2 = 1$；当$a\neq2$时，方程有两个不相等的实数根，$x_1 = 1$，$x_2 = a - 1$。