《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 解不等式：$ax^2 - 5ax + 6a ＞ 0$($a \neq 0$).
【分析】因为$a \neq 0$,$\Delta＞0$,所以我们只要讨论二次项系数的正负.
【解答】因为$a(x^2 - 5x + 6) = a(x - 2)(x - 3) ＞ 0$,
所以当$a＞0$时,解集为$\{x|x＜2 或 x＞3\}$；当$a＜0$时,解集为$\{x|2＜x＜3\}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们将原不等式$ax^2 - 5ax + 6a ＞ 0$进行因式分解，得到$a(x - 2)(x - 3) ＞ 0$。
然后，我们根据$a$的正负性进行分类讨论。
当$a＞0$时，由于二次项系数为正，所以不等式的解集为两根之外，即$x＜2$或$x＞3$。
当$a＜0$时，由于二次项系数为负，所以不等式的解集为两根之间，即$2＜x＜3$。
【答案】：
当$a＞0$时，解集为$\{x|x＜2 或 x＞3\}$；
当$a＜0$时，解集为$\{x|2＜x＜3\}$。

例2 解不等式：$x^2 + ax + 4 ＞ 0$.
【分析】本题中由于$x^2$的系数大于0,故只需考虑判别式$\Delta$与根的情况.
【解答】因为$\Delta = a^2 - 16$.
所以当$a \in (-4, 4)$,即$\Delta＜0$时,解集为$R$；
当$a = \pm 4$,即$\Delta = 0$时,解集为$\{x \in R 且 x \neq -\frac{a}{2}\}$；
当$a＞4或a＜-4$,即$\Delta＞0$时,此时两根分别为$x_1 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}$,$x_2 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}$,显然$x_1＞x_2$,所以不等式的解集为$\{x|x ＞ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2} 或 x ＜ \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\}$.

答案： 【解析】：
本题是一道含参数的一元二次不等式题目。
首先，观察不等式$x^2 + ax + 4 ＞ 0$，可以看出这是一个开口向上的抛物线（因为$x^2$的系数大于0），所以我们需要考虑判别式$\Delta = a^2 - 16$的情况来确定不等式的解集。
1. 当$\Delta ＜ 0$时，即$a^2 - 16 ＜ 0$，解得$a \in (-4, 4)$，此时抛物线在x轴上方，即对于所有的$x \in R$，都有$x^2 + ax + 4 ＞ 0$，所以解集为$R$。
2. 当$\Delta = 0$时，即$a^2 - 16 = 0$，解得$a = \pm 4$，此时抛物线与x轴相切，切点为$x = -\frac{a}{2}$，所以解集为$\{x \in R | x \neq -\frac{a}{2}\}$。
3. 当$\Delta ＞ 0$时，即$a^2 - 16 ＞ 0$，解得$a＞4$或$a＜-4$，此时抛物线与x轴有两个交点，分别为$x_1 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}$和$x_2 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}$，且$x_1＞x_2$，所以不等式的解集为$\{x|x ＞ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2} 或 x ＜ \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\}$。
【答案】：
当$a \in (-4, 4)$时，解集为$R$；
当$a = \pm 4$时，解集为$\{x \in R | x \neq -\frac{a}{2}\}$；
当$a＞4$或$a＜-4$时，解集为$\{x|x ＞ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2} 或 x ＜ \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\}$。

例3 已知关于$x的不等式x^2 + ax + b ＜ 0的解集为\{x|1＜x＜2\}$,试求关于$x的不等式bx^2 + ax + 1 ＞ 0$的解集.
【解答】由根与系数的关系,可得
$\begin{cases} -a = 1 + 2, \\ b = 1 × 2, \end{cases} $ 即 $\begin{cases} a = -3, \\ b = 2, \end{cases} $
$\therefore不等式bx^2 + ax + 1 ＞ 0$,即$2x^2 - 3x + 1 ＞ 0$.
由$2x^2 - 3x + 1 ＞ 0$,解得$x ＜ \frac{1}{2}或x＞1$.
$\therefore bx^2 + ax + 1 ＞ 0的解集为\{x|x ＜ \frac{1}{2} 或 x＞1\}$.

答案： 解：由根与系数的关系，可得
$\begin{cases} -a = 1 + 2, \\ b = 1×2, \end{cases}$ 即 $\begin{cases} a = -3, \\ b = 2, \end{cases}$
$\therefore$ 不等式 $bx^2 + ax + 1 ＞ 0$，即 $2x^2 - 3x + 1 ＞ 0$。
解方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$，得 $x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。
$\because$ 二次函数 $y = 2x^2 - 3x + 1$ 的图像开口向上，
$\therefore 2x^2 - 3x + 1 ＞ 0$ 的解集为 $x ＜ \frac{1}{2}$ 或 $x ＞ 1$。
$\therefore bx^2 + ax + 1 ＞ 0$ 的解集为 $\{x|x ＜ \frac{1}{2} 或 x ＞ 1\}$。

例4 已知不等式$ax^2 - bx + 2 ＜ 0的解集为\{x|1＜x＜2\}$,求$a$,$b$的值.
【解答】方法一 由题设条件知$a＞0$,且1,2是方程$ax^2 - bx + 2 = 0$的两实根.
由根与系数的关系,知$\begin{cases} 1 + 2 = \frac{b}{a}, \\ 1 × 2 = \frac{2}{a}, \end{cases} $
解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = 3. \end{cases} $
方法二 把$x= 1$,2分别代入方程$ax^2 - bx + 2 = 0$中,
得$\begin{cases} a - b + 2 = 0, \\ 4a - 2b + 2 = 0, \end{cases} $ 解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = 3. \end{cases} $

答案： 解：由题设条件知$a＞0$，且1，2是方程$ax^2 - bx + 2 = 0$的两实根。
由根与系数的关系，知$\begin{cases}1 + 2 = \frac{b}{a} \\1×2 = \frac{2}{a} \end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1 \\b = 3 \end{cases}$
故$a$的值为1，$b$的值为3。