《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例2 已知$x^{2}-3x+1= 0$,求$x^{3}+x^{-3}$的值.
【分析】 本题若先从方程$x^{2}-3x+1= 0中解出x$的值后,再代入代数式求值,则计算比较繁琐.若根据条件与求式值的联系,用整体代换的方法计算,可简化计算.
【解答】 因为$x^{2}-3x+1= 0$,所以$x≠0$,所以$x+\frac{1}{x}= 3$,原式$=(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1+x^{-2})= (x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^{2}-3]= 3(3^{2}-3)= 18$.

答案： 解：因为$x^{2}-3x + 1 = 0$，所以$x\neq0$，方程两边同时除以$x$得$x - 3 + \frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$。
$x^{3}+x^{-3}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1 + x^{-2})$
又因为$x^{2}+x^{-2}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$，所以$x^{2}-1 + x^{-2}=7 - 1=6$。
则$x^{3}+x^{-3}=3×6=18$。
答：$x^{3}+x^{-3}$的值为$18$。

例3 矩形的周长是28 cm,相邻两边$x、y满足x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}= 0$,求矩形的面积.
【分析】 根据已知等式的结构,我们对等式的左边进行因式分解,由于矩形的周长已知,所以可以将$x+y$的值整体代入,从而求出$xy$的值.
【解答】 因为$x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}= 0$,所以$(x^{3}-y^{3})+xy(x-y)= 0$,即$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+xy(x-y)= 0$,整理得$(x+y)^{2}(x-y)= 0$,所以$x-y= 0$.
又因为$x+y= 14$,所以$x= y= 7$,所以矩形的面积为$49\ cm^2$.

答案： 解：因为$x^{3}+x^{2}y - xy^{2}-y^{3}=0$，
所以$(x^{3}-y^{3})+(x^{2}y - xy^{2})=0$，
即$(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})+xy(x - y)=0$，
提取公因式$(x - y)$得：$(x - y)(x^{2}+xy + y^{2}+xy)=0$，
整理得：$(x - y)(x^{2}+2xy + y^{2})=0$，即$(x - y)(x + y)^{2}=0$，
因为矩形相邻两边$x$、$y$为正数，所以$x + y\neq0$，则$x - y=0$，即$x=y$，
又因为矩形周长是$28\ cm$，所以$2(x + y)=28$，即$x + y=14$，
因为$x=y$且$x + y=14$，所以$x=y=7$，
所以矩形面积为$x× y=7×7=49\ cm^{2}$。
答：矩形的面积为$49\ cm^{2}$。

1. 把下列各式分解因式：
(1)$\frac{1}{64}x^{3}-27$；
(2)$-2x^{3}+16x^{2}-24x$；
(3)$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$；
(4)$x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1$；
(5)$x^{3}+x^{2}-2$；
(6)$x^{5}+x+1$.

答案： （1）$(\frac{1}{4}x-3)(\frac{1}{16}x^{2}+\frac{3}{4}x+9)$
（2）$-2x(x-2)(x-6)$
（3）$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$
（4）$(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$
（5）原式$=(x^{3}-1)+(x^{2}-1)$
$=(x-1)(x^{2}+x+1)+(x-1)(x+1)$
$=(x-1)(x^{2}+2x+2)$
（6）原式$=x^{5}-x^{2}+x^{2}+x+1$
$=x^{2}(x^{3}-1)+(x^{2}+x+1)$
$=x^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)+(x^{2}+x+1)$
$=(x^{2}+x+1)[x^{2}(x-1)+1]$
$=(x^{2}+x+1)(x^{3}-x^{2}+1)$