《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例 2 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+m= 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的值可能是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【分析】先根据判别式 $\Delta＞0$,求出 $m$ 的取值范围,进而即可得到答案.
【解答】解：$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+m= 0$ 有两个不相等的实数根,
$\therefore\Delta=(-6)^{2}-4×1× m＞0$,解得 $m＜9$,
$\therefore m$ 的值可能是 8.
故选 A.
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系,掌握一元二次方程有两个不等的实数解,则 $\Delta=b^{2}-4ac＞0$,是解题的关键.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$与根的情况之间的关系。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
在本题中，方程$x^{2}-6x + m = 0$，其中$a = 1$，$b = -6$，$c = m$，因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta=(-6)^{2}-4×1× m＞0$，解这个不等式得到$m ＜ 9$，然后根据$m$的取值范围判断选项。
【答案】：
解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + m = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore\Delta=(-6)^{2}-4×1× m＞0$，
即$36 - 4m＞0$，
移项可得$4m＜36$，
两边同时除以$4$，解得$m ＜ 9$。
所以$m$的值可能是$8$。
故选A。

例 3 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-\sqrt{2k+4}x+k= 0$ 有两个不相等的实数解,化简：$|-k-2+\sqrt{k^{2}-4k+4}|= $______.
【分析】由关于 $x$ 的方程 $x^{2}-\sqrt{2k+4}x+k= 0$ 有两个不相等的实数解,得到 $2k+4\geq0$,$(\sqrt{2k+4})^{2}-4k＞0$,解不等式组得到 $k$ 的取值范围,然后根据 $k$ 的范围化简二次根式,再去绝对值.
【解答】因为关于 $x$ 的方程 $x^{2}-\sqrt{2k+4}x+k= 0$ 有两个不相等的实数解,所以 $2k+4\geq0$,且 $(\sqrt{2k+4})^{2}-4k＞0$,解两个不等式得 $-2\leq k＜2$,所以 $|-k-2+\sqrt{k^{2}-4k+4}|= |-k-2-k+2|= |-2k|$. 所以当 $-2\leq k＜0$ 时,原式 $-2k$；当 $0\leq k＜2$ 时,原式 $2k$.

答案： 解：因为关于$x$的方程$x^{2}-\sqrt{2k+4}x+k= 0$有两个不相等的实数解，
所以$\begin{cases}2k + 4\geq0\\(\sqrt{2k + 4})^{2}-4k＞0\end{cases}$，
解$2k + 4\geq0$得$k\geq - 2$，
解$(\sqrt{2k + 4})^{2}-4k＞0$得$2k + 4-4k＞0$，即$-2k + 4＞0$，$k＜2$，
所以$-2\leq k＜2$。
$\sqrt{k^{2}-4k + 4}=\sqrt{(k - 2)^{2}}=|k - 2|$，因为$-2\leq k＜2$，所以$k - 2＜0$，则$|k - 2|=2 - k$。
所以$|-k - 2+\sqrt{k^{2}-4k + 4}|=|-k - 2 + 2 - k|=|-2k|$。
当$-2\leq k＜0$时，$-2k＞0$，$|-2k|=-2k$；
当$0\leq k＜2$时，$-2k\leq0$，$|-2k|=2k$。
综上，当$-2\leq k＜0$时，原式$=-2k$；当$0\leq k＜2$时，原式$=2k$。
答案：当$-2\leq k＜0$时，$-2k$；当$0\leq k＜2$时，$2k$。

例 4 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0$.
(1)求证：不管 $k$ 为何值,方程总有实数根；
(2)若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a= 6$,另两边长 $b$,$c$ 恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.
【分析】(1)计算出根的判别式 $\Delta$ 的值,然后通过配方可知无论 $k$ 取何值,$\Delta$ 的值恒大于或等于 0,由此可得结论；
(2)因为题目中没有告诉等腰三角形 $ABC$ 中边 $a$ 是腰还是底,故要分两种情况讨论：① 当 $a$ 为腰时,则 $b$、$c$ 中有一边为腰,即原方程有一根为 6,代入方程可解得 $k$ 的值,进一步可求得方程的另一根,从而可求 $\triangle ABC$ 的周长；② 当 $a$ 为底时,则 $b$、$c$ 都为腰,此时原方程有两个相等的实数根,则 $\Delta=0$,由此可求出 $k$ 的值,代入原方程求解,从而可求 $\triangle ABC$ 的周长.
【解答】(1)$\because$ 在方程 $x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0$ 中,
$\Delta=[-(3k+1)]^{2}-4×1×(2k^{2}+2k)= 9k^{2}+6k+1-8k^{2}-8k= k^{2}-2k+1= (k-1)^{2}$,
$\therefore$ 无论 $k$ 为何值,$\Delta\geq0$,
$\therefore$ 不管 $k$ 为何值,原方程总有实数根；
(2)① 当 $a= 6$ 为腰时,则 $b$,$c$ 中有一边为腰,即原方程有一个根 $x= 6$,
把 $x= 6$ 代入原方程得：$36-6(3k+1)+2k^{2}+2k= 0$,
解得 $k_{1}= 3$,$k_{2}= 5$.
当 $k= 3$ 时,原方程为：$x^{2}-10x+24= 0$,
解得 $x_{1}= 4$,$x_{2}= 6$,即 $b$,$c$ 中一边为 4,一边为 6,则 $\triangle ABC$ 的周长为 16；
当 $k= 5$ 时,原方程为：$x^{2}-16x+60= 0$；
解得 $x_{1}= 6$,$x_{2}= 10$,即 $b$,$c$ 中一边为 6,另一边为 10,此时 $\triangle ABC$ 的周长为 22.
② 当 $a= 6$ 为底时,则 $b$,$c$ 两边均为腰,即原方程有两个相等的实数根,
所以 $\Delta=(k-1)^{2}= 0$,解得 $k= 1$,
此时原方程为：$x^{2}-4x+4= 0$,解得 $x_{1}= x_{2}= 2$.
即 $b$,$c$ 均为 2,因为 $2+2＜6$,此时 $a$,$b$,$c$ 三边围不成三角形,此种情况不成立.
综合 ①② 可得此三角形的周长为 16 或 22.
【点评】(1)问题从一元二次方程根的判别式“$\Delta$”入手,通过化简、配方法等将“$\Delta$”表达式转化为可判断其符号的形式,从而就可以判断原一元二次方程根的情况了；(2)这类问题通常要分“已知边是等腰三角形的腰和底”两种情况分别讨论,同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中,求出三边后,一定要用三角形三边间的关系进行检验,看能否围成三角形.

答案： 【解析】：
(1)这部分主要考察一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。通过计算$\Delta$，可以判断方程的根的情况。题目要求证明无论$k$取何值，方程总有实数根，即证明$\Delta \geq 0$。
(2)这部分主要考察等腰三角形的性质和一元二次方程的解。由于题目没有明确等腰三角形的腰和底，所以需要分情况讨论。当已知边长为腰时，将已知边长代入方程求解$k$，再求解方程的另一根，从而得到三角形的周长。当已知边长为底时，利用等腰三角形两腰相等的性质，令$\Delta = 0$求解$k$，再求解方程的根，检验是否能构成三角形。
【答案】：
(1)证明：
在方程$x^{2} - (3k + 1)x + 2k^{2} + 2k = 0$中，
$\Delta = \lbrack - (3k + 1)\rbrack^{2} - 4 × 1 × (2k^{2} + 2k)$
$= 9k^{2} + 6k + 1 - 8k^{2} - 8k$
$= k^{2} - 2k + 1$
$= (k - 1)^{2}$
∵$(k - 1)^{2} \geq 0$，
∴无论$k$为何值，$\Delta \geq 0$，
∴不管$k$为何值，原方程总有实数根；
(2)①当$a = 6$为腰时，
把$x = 6$代入原方程得：$36 - 6(3k + 1) + 2k^{2} + 2k = 0$，
解得$k_{1} = 3$，$k_{2} = 5$。
当$k = 3$时，原方程为：$x^{2} - 10x + 24 = 0$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$，
即$b$，$c$中一边为$4$，一边为$6$，
则$\bigtriangleup ABC$的周长为$6 + 6 + 4 = 16$；
当$k = 5$时，原方程为：$x^{2} - 16x + 60 = 0$，
解得$x_{1} = 6$，$x_{2} = 10$，
即$b$，$c$中一边为$6$，另一边为$10$，
此时$\bigtriangleup ABC$的周长为$6 + 6 + 10 = 22$；
②当$a = 6$为底时，
∵$b$，$c$两边均为腰，
∴原方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta = (k - 1)^{2} = 0$，
解得$k = 1$，
此时原方程为：$x^{2} - 4x + 4 = 0$，
解得$x_{1} = x_{2} = 2$，
即$b$，$c$均为$2$，
∵$2 + 2 \lt 6$，
∴此时$a$，$b$，$c$三边围不成三角形，此种情况不成立。
综上所述，此三角形的周长为$16$或$22$。