《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例2 如图3,已知抛物线$y= ax^{2}-2ax-b(a＞0)与x轴的一个交点为B(-1,0)$,与$y轴的负半轴交于点C$,顶点为$D$.
(1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与$x轴的另一个交点A$的坐标;
(2)以$AD为直径的圆经过点C$.
①求抛物线的解析式;
②点$E$在抛物线的对称轴上,点$F$在抛物线上,且以$B,A,F,E$4点为顶点的四边形为平行四边形,求点$F$的坐标.

【分析】(2)以$AD为直径的圆经过点C$,即$\angle ACD= 90^{\circ}$,利用相似求出点$C$的坐标.在$B,A,F,E$4个点中,只有两个点是定点,故讨论时分两种情况:第一种是以$AB$为平行四边形的边,第二种是以$AB$为平行四边形的对角线.
【解答】(1)抛物线的对称轴是直线$x= -\frac{-2a}{2a}= 1$,$B(-1,0)$,所以点$A的坐标是(3,0)$.
(2)①如图3,连结$AC$,$AD$,$CD$,过点$D作DM\perp y轴于点M$.
因为以$AD为直径的圆经过点C$,则$\angle ACD= 90^{\circ}$,易知$\triangle AOC\backsim\triangle CMD$.
因为点$A,D,C的坐标分别是A(3,0)$,$D(1,-a-b)$,$C(0,-b)$,所以$AO= 3$,$MD= 1$.
由$\frac{AO}{CM}= \frac{OC}{MD}得\frac{3}{a}= \frac{b}{1}$,所以$3-ab= 0$.
又因为$0= a\cdot(-1)^{2}-2a\cdot(-1)-b$,所以$3a-b= 0$.
由$\begin{cases}3-ab= 0,\\3a-b= 0\end{cases} 得\begin{cases}a= 1,\\b= 3,\end{cases} 所以抛物线的解析式为y= x^{2}-2x-3$.
②如图4,当四边形$BAFE$为平行四边形时,$BA// EF$,并且$BA= EF$.
因为$BA= 4$,所以$EF= 4$.
由于抛物线的对称轴为直线$x= 1$,所以点$F$的横坐标为5.
将$x= 5代入y= x^{2}-2x-3$,得$y= 12$,所以$F(5,12)$.
根据抛物线的对称性可知对称轴左侧的抛物线上也存在点$F$,使得四边形$BAEF$是平行四边形,此时点$F的坐标为(-3,12)$.
当四边形$BEAF$是平行四边形时,点$F即为点D$,此时点$F的坐标为(1,-4)$.
综上所述,点$F的坐标为(5,12)$,$(-3,12)或(1,-4)$.

答案： 【解析】：
（1）抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
已知抛物线与$x$轴的一个交点为$B(-1,0)$，根据抛物线的对称性，与$x$轴的另一个交点$A$的坐标是$(3,0)$。
（2）①连结$AC$，$AD$，$CD$，过点$D$作$DM\perp y$轴于点$M$。
因为以$AD$为直径的圆经过点$C$，所以$\angle ACD = 90^{\circ}$，易知$\triangle AOC\sim\triangle CMD$。
已知点$A$，$D$，$C$的坐标分别是$A(3,0)$，$D(1,-a - b)$，$C(0,-b)$，所以$AO = 3$，$MD = 1$。
由$\frac{AO}{CM}=\frac{OC}{MD}$得$\frac{3}{a}=\frac{b}{1}$，所以$3 - ab = 0$。
又因为$0=a\cdot(-1)^{2}-2a\cdot(-1)-b$，所以$3a - b = 0$。
联立方程组$\begin{cases}3 - ab = 0\\3a - b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 3\end{cases}$，所以抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。
②当四边形$BAFE$为平行四边形时，$BA// EF$，并且$BA = EF$。
因为$BA = 4$，所以$EF = 4$。
由于抛物线的对称轴为直线$x = 1$，所以点$F$的横坐标为$5$。
将$x = 5$代入$y = x^{2}-2x - 3$，得$y = 12$，所以$F(5,12)$。
根据抛物线的对称性可知对称轴左侧的抛物线上也存在点$F$，使得四边形$BAEF$是平行四边形，此时点$F$的坐标为$(-3,12)$。
当四边形$BEAF$是平行四边形时，点$F$即为点$D$，此时点$F$的坐标为$(1,-4)$。
【答案】：
(1)抛物线的对称轴是直线$x = 1$，点$A$的坐标是$(3,0)$；
(2)①抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$；
②点$F$的坐标为$(5,12)$，$(-3,12)$或$(1,-4)$。