《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

5. 方程$\frac{\sqrt{7}(1+x)}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}= 0$的根是 ( )

A.$x= \frac{\sqrt{14}-7}{9}$
B.$x= \frac{7-\sqrt{14}}{9}$
C.$x= -\frac{7+9\sqrt{14}}{31}$
D.$x= \frac{7+9\sqrt{14}}{31}$

答案： A

6. 若$\sqrt{(5-x)(x-3)^2}= (x-3)\sqrt{5-x}$,则x的取值范围是______.

答案： 3 ≤ x ≤ 5

7. 如果$a+b= 4\sqrt{a}+2\sqrt{b}-5$,那么$a+2b= $______.

答案： 6

8. 一个正方形的周长与一个等腰三角形的周长相等,若等腰三角形的两边长为$4\sqrt{2}和10\sqrt{2}$,则这个正方形的对角线为______.

答案： 12

9. 若$a+\frac{1}{a}= 4(0＜a＜1)$,则$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}= $______.

答案： $-\sqrt{2}$

10. 设$M= \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2020}}$,$N= 1-2+3-4+5-6+…[phone]$,则$\frac{N}{(M+1)^2}= $______.

答案： $-\frac{1}{2}$

11. 已知$y= \sqrt{\frac{x^2-2}{5x-4}}-\sqrt{\frac{x^2-2}{4-5x}}+2$,则$x^2+y^2= $______.

答案： 6

12. 已知$xy= 5$,则$x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}= $______.

答案： $±2\sqrt{5}$

13. 已知有理数x、y、z满足$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}= \frac{1}{2}(x+y+z)$,那么$(x-yz)^2$的值为______.

答案： 25

14. 正数m、n满足$m+4\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n= 3$,则$\frac{\sqrt{m}+2\sqrt{n}-8}{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2002}= $______.

答案： $-\frac{1}{401}$

15. (1)已知$y= \sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$,求代数式$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}-\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$的值；
(2)当$x= \sqrt{3}-2$时,求代数式$x^3+4x^2+x+3$的值；
(3)已知m是$\sqrt{2}$的小数部分,求$\sqrt{m^2+\frac{1}{m^2}-2}$的值.

答案：
(1) 1
(2) 3
(3) 由题意得 $m = \sqrt{2} - 1$，所以 $m ＜ \frac{1}{m}$，$\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}} - 2}=\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}} - 2× m× \frac{1}{m}}=\sqrt{(m - \frac{1}{m})^{2}}=\left|m - \frac{1}{m}\right|=\frac{1}{m}-m$。
当 $m = \sqrt{2} - 1$ 时，原式 $=\frac{1}{\sqrt{2} - 1}-(\sqrt{2} - 1)=\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$。

16. 化简求值：
已知$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}= \frac{3}{2}$,$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}= \frac{7}{6}$,$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}= \frac{13}{12}$,试猜测$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$的结果,并加以证明.

答案： 猜想：$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n^{2}+n + 1}{n(n + 1)}$。
证明：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}+n^{2}}{n^{2}(n + 1)^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)^{2}+2n(n + 1)+1}{n(n + 1)}}$
$=\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}=\frac{n^{2}+n + 1}{n(n + 1)}$。