《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 分解因式：
(1)$a^2 + b^2 - 2ab - 1$；(2)$-a^4 + 16$。
【分析】观察式子结构,可知应用乘法公式进行因式分解。
【解答】(1)$a^2 + b^2 - 2ab - 1= (a - b + 1)(a - b - 1)$。
(2)$-a^4 + 16= 4^2-(a^2)^2= (4 + a^2)(4 - a^2)= (4 + a^2)(2 + a)(2 - a)$。

答案： 解：
(1) $a^2 + b^2 - 2ab - 1$
$=(a^2 - 2ab + b^2) - 1$
$=(a - b)^2 - 1^2$
$=(a - b + 1)(a - b - 1)$
(2) $-a^4 + 16$
$=16 - a^4$
$=4^2 - (a^2)^2$
$=(4 + a^2)(4 - a^2)$
$=(4 + a^2)(2^2 - a^2)$
$=(4 + a^2)(2 + a)(2 - a)$

例2 计算：(1)$(y + 3)(y^2 - 3y + 9)$；
(2)$(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{4}b^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{4}{9}a^2)$；
(3)$(x + 1)(x - 1)(x^4 + x^2 + 1)$；
(4)$(a + 2)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)$；
(5)$(m^2 + 2mn + n^2)(m^2 - mn + n^2)^2$。
【分析】对于多项式乘多项式的题目,我们首先要观察题目的结构特点,看其是否满足某一乘法公式的特点,对照公式进行计算比较简单。注意此类题目解正确的前提是对公式掌握非常熟练。
【解答】(1)原式$=y^3 + 3^3= y^3 + 27$。
(2)原式$=(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{1}{4}b^2)$
$=(\frac{2}{3}a)^3 - (\frac{1}{2}b)^3$
$=\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{8}b^3$。
(3)原式$=(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$
$=(x^2)^3 - 1^3$
$=x^6 - 1$。
(4)原式$=(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
$=(a^3 + 2^3)(a^3 - 2^3)$
$=(a^3)^2 - (2^3)^2$
$=a^6 - 64$。
(5)原式$=(m + n)^2(m^2 - mn + n^2)^2$
$=[(m + n)(m^2 - mn + n^2)]^2$
$=(m^3 + n^3)^2$
$=m^6 + 2m^3n^3 + n^6$。

答案：
(1)解：原式$=y^3 + 3^3 = y^3 + 27$
(2)解：原式$=(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{3}ab + \frac{1}{4}b^2)$
$=(\frac{2}{3}a)^3 - (\frac{1}{2}b)^3$
$=\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{8}b^3$
(3)解：原式$=(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$
$=(x^2)^3 - 1^3$
$=x^6 - 1$
(4)解：原式$=(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
$=(a^3 + 2^3)(a^3 - 2^3)$
$=(a^3)^2 - (2^3)^2$
$=a^6 - 64$
(5)解：原式$=(m + n)^2(m^2 - mn + n^2)^2$
$=[(m + n)(m^2 - mn + n^2)]^2$
$=(m^3 + n^3)^2$
$=m^6 + 2m^3n^3 + n^6$