《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例1 (1)函数$f(x) = x^2 + 3x + 2在区间(-5,5)$上的最大、最小值分别为( )
A. 42,12
B. $42,-\frac{1}{4}$
C. $12,-\frac{1}{4}$
D. 无最大值,最小值为$-\frac{1}{4}$
(2)已知函数$y = x^2 - 4x + 6$,当$x \in [1,4]$时,则函数的最大值为______。
【分析】先对x的二次三项式配方,再由x的范围求y的最值。
【解答】(1)$\because f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$,$x \in (-5,5)$,
$\therefore当x = -\frac{3}{2}$时,$f(x)有最小值-\frac{1}{4}$,$f(x)$无最大值。
故选D。
(2)$\because y = x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2$,
$\therefore函数y = x^2 - 4x + 6在[1,2]$上递减,在$[2,4]$上递增。
又当$x = 1$时,$y = 3$,当$x = 4$时,$y = 6$,
$\therefore$函数的最大值为6。
【点评】这题是求二次函数的最值的问题,在高中还有进一步的深入学习,如求含参数的二次函数的最值问题。

答案： 【解析】：
(1) 对于函数 $f(x) = x^2 + 3x + 2$，我们可以将其配方为 $f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$。
由于二次函数的性质，我们知道函数的最小值出现在对称轴上，即 $x = -\frac{3}{2}$，此时 $f(x) = -\frac{1}{4}$。
又因为 $x \in (-5,5)$，所以函数在这个区间内没有最大值（因为当 $x$ 接近 5 或 -5 时，函数值会无限增大）。
(2) 对于函数 $y = x^2 - 4x + 6$，我们可以将其配方为 $y = (x - 2)^2 + 2$。
由于二次函数的性质，我们知道函数在 $x = 2$ 时取得最小值，即 $y = 2$。
接下来，我们需要考虑区间 $[1,4]$ 的端点值。
当 $x = 1$ 时，$y = 3$；
当 $x = 4$ 时，$y = 6$。
因此，在区间 $[1,4]$ 上，函数的最大值为 6。
【答案】：
(1) D
(2) 6