《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

1. 若$0＜a＜1$,则不等式$(x - a)\left(x - \frac{1}{a}\right) ＜ 0$的解集是( )

A.$\{x|a ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$
B.$\{x|\frac{1}{a} ＜ x ＜ a\}$
C.$\{x|x ＞ \frac{1}{a} 或 x ＜ a\}$
D.$\{x|x ＜ \frac{1}{a} 或 x ＞ a\}$

答案： A

2. 不等式$\frac{ax}{x - 1} ＜ 1的解集为\{x|x＜1 或 x＞2\}$,则( )

A.$a ＜ \frac{1}{2}$
B.$a ＞ \frac{1}{2}$
C.$a = \frac{1}{2}$
D.$a = -\frac{1}{2}$

答案： C

3. 已知：$x \otimes y = x(1 - y)$,若不等式$(x - a) \otimes x ＜ 1对于任何实数x$恒成立,则实数$a$的取值范围是______.

答案： -1 ＜ a ＜ 3

4. 解关于$x$的一元二次不等式：$x^2 + ax + 1 ＞ 0$($a$为实数).

答案： 由Δ = a² - 4，① 当Δ ＞ 0，即a ＜ -2或a ＞ 2时，方程x² + ax + 1=0的解为x₁=(-a - √(a² - 4))/2，x₂=(-a + √(a² - 4))/2。所以，原不等式的解集为x ＜ (-a - √(a² - 4))/2或x ＞ (-a + √(a² - 4))/2；② 当Δ = 0，即a = ±2时，原不等式的解为x ≠ -a/2。

5. 已知不等式$|x^2 - 5x + 6| \leq x + a$,其中$a$是实数,若不等式恰有3个整数解,求满足条件的所有的$a$的值.

答案： 设二次函数y = |x² - 5x + 6|，令y = 0，解得x = 2或x = 3，则函数与x轴的交点是A(2,0)和B(3,0)。当x = 4时，y = 2，当x = 0时，y = 6，则函数一定经过点C(4,2)和点D(0,6)。设一次函数y = x + a，是与第一、三象限角平分线平行的直线，则过点A的直线是y = x - 2，过点B的直线是y = x - 3，过点C的直线是y = x - 2，过点D的直线是y = x + 6。如图，根据函数的图像得当a = -2时，不等式恰有 3 个整数解，为 2,3,4；将x + a向上平移，当a = 1时，不等式恰好有 5 个整数解，为 1,2,3,4,5。所以当-2 ≤ a ＜ 1时，不等式有 3 个整数解，为 2,3,4。所以a的范围是-2 ≤ a ＜ 1。(第5题)