《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例2 分解因式：$m^2 + n^2 - 2mn + n - m$.
【分析】此题是一个五项式,其中$m^2 - 2mn + n^2$是完全平方公式,且与$-m + n = -(m - n)$之间有公因式可提取,因而可采用三项、二项分组.
【解答】原式$=(m^2 - 2mn + n^2) - (m - n)$
$=(m - n)^2 - (m - n)$
$=(m - n)(m - n - 1)$.

答案： 【解析】：
此题考查多项式的因式分解，特别是分组分解法的应用。
首先，我们观察到$m^2 - 2mn + n^2$是完全平方公式的形式，即$(m - n)^2$。
接下来，我们注意到剩下的部分$-m + n$可以写为$-(m - n)$，这样我们就可以提取公因式$(m - n)$。
因此，我们可以将原式分为两组进行因式分解：
第一组为$m^2 - 2mn + n^2$，
第二组为$-m + n$。
然后，我们提取公因式$(m - n)$，得到$(m - n)(m - n - 1)$。
【答案】：
解：原式$=(m^2 - 2mn + n^2) - (m - n)$
$=(m - n)^2 - (m - n)$
$=(m - n)(m - n - 1)$。

例3 分解因式：
(1)$x^2 - y^2 - z^2 - 2yz + 1 - 2x$；
(2)$x^2 - 6xy + 9y^2 - 10x + 30y + 25$；
(3)$a^2 - a^2b + ab^2 - a + b - b^2$.
【分析】(1)是一个六项式,经过分析可采用三项、三项分组,$x^2 - 2x + 1$一组,$-y^2 - 2yz - z^2$一组,分别用完全平方公式后再用平方差公式分解.(2)也是六项式,前三项是$(x - 3y)^2$,而最后一项是$5^2$,中间两项恰巧能分解成$-2 × 5(x - 3y)$,所以可以用完全平方公式来分解.(3)还是六项式,但都不具备上述两题的特征,可将这一个六项式二项、二项、二项分成三组,各自提取公因式,再提取三组间的公因式.
【解答】
(1)原式$=(x^2 - 2x + 1) - (y^2 + 2yz + z^2)$
$=(x - 1)^2 - (y + z)^2$
$=(x - 1 + y + z)(x - 1 - y - z)$.
(2)原式$=(x^2 - 6xy + 9y^2) - 10x + 30y + 5^2$
$=(x - 3y)^2 - 2(x - 3y) × 5 + 5^2$
$=(x - 3y - 5)^2$.
(3)原式$=(a^2 - b^2) - (a^2b - ab^2) - (a - b)$
$=(a + b)(a - b) - ab(a - b) - (a - b)$
$=(a - b)(a + b - ab - 1)$
$=(a - b)[(b - 1) - a(b - 1)]$
$=(a - b)(b - 1)(1 - a)$.
说明：(3)分解到$(a - b)(a + b - ab - 1)$时,要观察提取公因式的剩余因式$(a + b - ab - 1)$是否能再分解因式.因为它又是四项式,不能应用公式法和提取公因式法,可再考虑分组分解法,采用二项、二项分组法再提取公因式.

答案：
(1)解：原式$=(x^2 - 2x + 1) - (y^2 + 2yz + z^2)$
$=(x - 1)^2 - (y + z)^2$
$=(x - 1 + y + z)(x - 1 - y - z)$
(2)解：原式$=(x^2 - 6xy + 9y^2) - 10x + 30y + 25$
$=(x - 3y)^2 - 2×5×(x - 3y) + 5^2$
$=(x - 3y - 5)^2$
(3)解：原式$=(a^2 - b^2) - (a^2b - ab^2) - (a - b)$
$=(a + b)(a - b) - ab(a - b) - (a - b)$
$=(a - b)(a + b - ab - 1)$
$=(a - b)[(b - 1) - a(b - 1)]$
$=(a - b)(b - 1)(1 - a)$

例4 分解因式：
(1)$3x^3 + 6x^2y - 3x^2z - 6xyz$；
(2)$ab(c^2 + d^2) + cd(a^2 + b^2)$；
(3)$(ax + by)^2 + (bx - ay)^2$；
(4)$a^2 - 4ab + 3b^2 + 2bc - c^2$.
【分析】(1)是四项式,这四项中有公因式$3x$,应先提取公因式,再将剩余因式进行二、二分组.(2)中多项式带有括号,不便于直接分组,先将括号去掉,整理后再分组分解.(3)先将括号部分分别用完全平方公式展开,再分组分解.(4)将$3b^2变形为4b^2 - b^2$,再分组分解.
【解答】
(1)原式$=3x(x^2 + 2xy - xz - 2yz)$
$=3x[(x^2 + 2xy) - (xz + 2yz)]$
$=3x[x(x + 2y) - z(x + 2y)]$
$=3x[(x + 2y)(x - z)]$
$=3x(x + 2y)(x - z)$.
(2)原式$=abc^2 + abd^2 + a^2cd + b^2cd$
$=(abc^2 + a^2cd) + (abd^2 + b^2cd)$
$=ac(bc + ad) + bd(ad + bc)$
$=(bc + ad)(ac + bd)$.
(3)原式$=a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + b^2x^2 - 2abxy + a^2y^2$
$=a^2x^2 + b^2y^2 + b^2x^2 + a^2y^2$
$=(a^2x^2 + b^2x^2) + (b^2y^2 + a^2y^2)$
$=x^2(a^2 + b^2) + y^2(a^2 + b^2)$
$=(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$.
(4)原式$=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 2bc - c^2$
$=(a^2 - 4ab + 4b^2) - (b^2 - 2bc + c^2)$
$=(a - 2b)^2 - (b - c)^2$
$=(a - 2b + b - c)(a - 2b - b + c)$
$=(a - b - c)(a - 3b + c)$.

答案：
(1)解：原式$=3x(x^2 + 2xy - xz - 2yz)$
$=3x[(x^2 + 2xy) - (xz + 2yz)]$
$=3x[x(x + 2y) - z(x + 2y)]$
$=3x(x + 2y)(x - z)$
(2)解：原式$=abc^2 + abd^2 + a^2cd + b^2cd$
$=(abc^2 + a^2cd) + (abd^2 + b^2cd)$
$=ac(bc + ad) + bd(ad + bc)$
$=(bc + ad)(ac + bd)$
(3)解：原式$=a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + b^2x^2 - 2abxy + a^2y^2$
$=a^2x^2 + b^2y^2 + b^2x^2 + a^2y^2$
$=(a^2x^2 + b^2x^2) + (b^2y^2 + a^2y^2)$
$=x^2(a^2 + b^2) + y^2(a^2 + b^2)$
$=(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$
(4)解：原式$=a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 + 2bc - c^2$
$=(a^2 - 4ab + 4b^2) - (b^2 - 2bc + c^2)$
$=(a - 2b)^2 - (b - c)^2$
$=(a - 2b + b - c)(a - 2b - b + c)$
$=(a - b - c)(a - 3b + c)$