《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$A,B,C$三点分别为坐标轴上的三个点,且$OA= 1$,$OB= 3$,$OC= 4$.
(1)求经过$A,B,C$三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系$xOy中是否存在一点P$,使得以$A,B,C,P$为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点$M$为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当$|PM-AM|取最大值时点M$的坐标,并直接写出$|PM-AM|$的最大值.

答案：
(1)因为OA=1，OB=3，OC=4，所以A(1,0)，B(0,3)，C(-4,0)，设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+4)，把(0,3)代入，得3=-4a，a=-3/4，所以y=-3/4(x-1)(x+4)=-3/4x²-9/4x+3。所以抛物线的解析式为y=-3/4x²-9/4x+3。
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为菱形。理由：因为OB=3，OC=4，OA=1，所以BC=AC=5。当BP=AC且BP//AC时，四边形ACBP为菱形，所以BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，所以点P的坐标为(5,3)。
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(5,3)，则{k+b=0,5k+b=3}，解得{k=3/4,b=-3/4}。所以直线PA的解析式为y=3/4x-3/4。当点M与P，A两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系得|PM-AM|＜PA；当点M与P，A两点在同一直线上时，得|PM-AM|=PA。所以，当点M与P，A两点在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，此时点M为直线PA与抛物线的交点，联立{y=3/4x-3/4,y=-3/4x²-9/4x+3}，解得{x1=1,y1=0,{x2=-5,y2=-9/2}。所以当点M的坐标为(1,0)或(-5,-9/2)时，|PM-AM|的值最大，最大值是5。