《2025年初中升高中衔接读本南京出版社数学》

例3 若边长为$a$的正方形与长、宽分别为$m、n$的矩形面积相等,则下列比例式中,不正确的是( )
A. $\frac{m}{a}= \frac{a}{n}$ B. $\frac{a+n}{a}= \frac{a+m}{m}$
C. $\frac{a-n}{m-a}= \frac{n}{a}$ D. $\frac{a-1}{m+1}= \frac{n-1}{a+1}$
【分析】根据题意得等式$a^2= mn$,将此式转化为比例式,然后根据分式的基本性质以及等式的基本性质进行推导即可.
【解答】由题意,得$a^2= mn$.
因为$a^2= mn$,所以$\frac{m}{a}= \frac{a}{n}$,A选项正确；
因为$\frac{n}{m}= \frac{a}{a}$,所以$1+\frac{n}{a}= 1+\frac{a}{m}$,即$\frac{a+n}{a}= \frac{m+a}{m}$,B选项正确；
因为$a^2= mn$,所以$a^2-an= mn-an$,即$a(a-n)= n(m-a)$,所以$\frac{a-n}{m-a}= \frac{n}{a}$,C选项正确.
故选D.

答案： 解：由题意，得$a^2 = mn$。
A选项：因为$a^2 = mn$，所以$\frac{m}{a} = \frac{a}{n}$，A正确。
B选项：由$a^2 = mn$得$\frac{n}{a} = \frac{a}{m}$，两边加1得$1 + \frac{n}{a} = 1 + \frac{a}{m}$，即$\frac{a + n}{a} = \frac{m + a}{m}$，B正确。
C选项：由$a^2 = mn$得$a^2 - an = mn - an$，即$a(a - n) = n(m - a)$，所以$\frac{a - n}{m - a} = \frac{n}{a}$，C正确。
D选项：假设$\frac{a - 1}{m + 1} = \frac{n - 1}{a + 1}$，则$(a - 1)(a + 1) = (m + 1)(n - 1)$，即$a^2 - 1 = mn - m + n - 1$，由$a^2 = mn$得$-1 = -m + n - 1$，即$m = n$，但$m$与$n$不一定相等，D不正确。
故选D。

例4 已知$x+\frac{1}{x}= 2$,求$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值.
【分析】可以将$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}或\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$先进行化简,化成$x+\frac{1}{x}$的形式,然后用直接代入法求值.
【解答】方法一：$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}= \frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}= \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-1}$,将$x+\frac{1}{x}= 2$代入上式,得原式= $\frac{1}{4-1}= \frac{1}{3}$.
方法二：$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}= \frac{x^4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}= x^2+1+\frac{1}{x^2}= (x+\frac{1}{x})^2-1$,当$x+\frac{1}{x}= 2$时,$(x+\frac{1}{x})^2-1= 2^2-1= 3$.因为$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}与\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$互为倒数,所以$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}= \frac{1}{3}$.

答案： 解：方法一：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x^4+x^2+1}&=\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}\\&=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2-1}\end{aligned}$
将$x+\frac{1}{x}=2$代入上式，得：
$\frac{1}{2^2 - 1}=\frac{1}{4 - 1}=\frac{1}{3}$
方法二：
$\begin{aligned}\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}&=x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\\&=(x + \frac{1}{x})^2 - 1\end{aligned}$
当$x+\frac{1}{x}=2$时，
$(x + \frac{1}{x})^2 - 1=2^2 - 1=4 - 1=3$
因为$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$与$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}$互为倒数，所以$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}=\frac{1}{3}$
综上，$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值为$\frac{1}{3}$。

例5 化简：$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$.
【分析】题目中5个式子的分母都不相同,如果按常规方法通分,计算量相当大,如果采用逐步通分的方法,可以化繁为简.
【解答】
原式= $\frac{x+1-x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{2}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{2(x^2+1)-2(x^2-1)}{x^4-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{4}{x^4-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{4(x^4+1)-4(x^4-1)}{x^8-1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{8}{x^8-1}-\frac{8}{x^8-1}$
=0.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的加减运算以及代数式的化简。
题目中给出了一个复杂的分式表达式，包含多个不同的分母，如果直接进行通分计算，计算量会非常大。
因此，我们可以采用逐步通分的方法，先对前两个分式进行通分和化简，然后再与第三个分式进行通分和化简，以此类推，直到所有的分式都被化简。
最后我们可以得到化简后的结果。
【答案】：
解：原式= $\frac{x+1-x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{2}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{2(x^2+1)-2(x^2-1)}{x^4-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{4}{x^4-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{4(x^4+1)-4(x^4-1)}{x^8-1}-\frac{8}{x^8-1}$
=$\frac{8}{x^8-1}-\frac{8}{x^8-1}$
=0。

1. 同时使分式$\frac{x-5}{x^2+6x+8}$有意义,又使分式$\frac{x^2+3x}{(x+1)^2-9}无意义的x$的取值范围是( )

A.$x\neq-4且x\neq-2$
B.$x= -4或x= 2$
C.$x= -4$
D.$x= 2$

答案： D