《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

16.如图,已知直角梯形ABCD中,$AD⊥AB,AB= 2AD= 2CD$,过点C作$CE⊥AB$于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:
(1)$DE// BC$;
(2)D,M,B三点共线.

答案：
16. [证明]如图所示，以$E$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$EC$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。

令$|\overrightarrow{AD}|=1$，则$|\overrightarrow{DC}|=1$，$|\overrightarrow{AB}|=2$。因为$CE\perp AB$，且$AD = DC$，所以四边形$AECD$为正方形，所以可求得各点坐标分别为$E(0,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$，$D(-1,1)$，$A(-1,0)$。（1）因为$\overrightarrow{ED}=(-1,1)-(0,0)=(-1,1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,1)-(1,0)=(-1,1)$。所以$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{ED}//\overrightarrow{BC}$，即$DE// BC$。（2）如图，连接$MB$，$MD$。因为$M$为$EC$的中点，所以$M(0,\frac{1}{2})$，所以$\overrightarrow{MD}=(-1,1)-(0,\frac{1}{2})=(-1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{MB}=(1,0)-(0,\frac{1}{2})=(1,-\frac{1}{2})$。所以$\overrightarrow{MD}=-\overrightarrow{MB}$，所以$\overrightarrow{MD}//\overrightarrow{MB}$。又$MD$与$MB$有公共点$M$，所以$D$，$M$，$B$三点共线。

17.如图,设Ox,Oy是平面内相交成$60^{\circ }$角的两条数轴,$e_{1},e_{2}$分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量,若向量$\overrightarrow {OP}= xe_{1}+ye_{2}$,则把有序数对$(x,y)$叫作向量在斜坐标系xOy中的坐标,记为$\overrightarrow {OP}= (x,y)$.
(1)在斜坐标系xOy中,已知$a= (x,y)$,求$|a|$;
(2)在斜坐标系xOy中,已知$a= (sinθ,2),b= (cosθ,1)(\frac {π}{4}≤θ≤\frac {π}{2})$,求$|a-b|$的最大值.

答案： 17. [分析]（1）根据向量的数量积的运算律求解；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示以及两角差的正弦公式，结合正弦函数的性质求解。
[解析]（1）由题意可知：$|e_{1}|=|e_{2}|=1$，$e_{1}\cdot e_{2}=|e_{1}||e_{2}|\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$|a|^{2}=(xe_{1}+ye_{2})^{2}=x^{2}e_{1}^{2}+2xye_{1}\cdot e_{2}+y^{2}e_{2}^{2}=x^{2}+xy+y^{2}$，所以$|a|=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}$。（2）由题意可知$a - b=(\sin\theta,2)-(\cos\theta,1)$，所以$a - b=(\sin\theta-\cos\theta,1)$。由（1）可得，$|a - b|=\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+(\sin\theta-\cos\theta)+1}$，令$t=\sin\theta-\cos\theta$，$|a - b|=\sqrt{t^{2}+t+1}=\sqrt{(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$，因为$t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})$，且$\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$，所以$0\leq\theta-\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{4}$，$0\leq\sin(\theta-\frac{\pi}{4})\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$0\leq t\leq1$。又因为函数$y = t^{2}+t + 1$在$0\leq t\leq1$上单调递增，即当$t = 1$时，函数$y = t^{2}+t + 1$取得最大值$3$，即$\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\theta=\frac{\pi}{2}$，所以当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$|a - b|$的最大值为$\sqrt{3}$。