《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

19. (17分)记$\triangle ABC$的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$sinCsin(A-B)= sinBsin(C$$-A).$
(1)证明:$2a^{2}= b^{2}+c^{2};$
(2)若$a= 5,cosA= \frac {25}{31}$,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)证明：因为$\sin C\sin(A-B)=\sin B\sin(C-A)$，
所以$\sin C(\sin A\cos B-\cos A\sin B)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$，
展开得$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$，
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$为$\triangle ABC$外接圆半径），得$\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$，代入上式并两边同乘$(2R)^2$，
得$ac\cos B - bc\cos A = bc\cos A - ab\cos C$，
由余弦定理$\cos B=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$，$\cos A=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$，$\cos C=\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$，代入得：
$ac\cdot\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} - bc\cdot\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}=bc\cdot\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} - ab\cdot\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$，
化简得$\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$，
两边同乘$2$得$(a^2 + c^2 - b^2)-(b^2 + c^2 - a^2)=(b^2 + c^2 - a^2)-(a^2 + b^2 - c^2)$，
整理得$2a^2 - 2b^2 = 2c^2 - 2a^2$，即$2a^2 = b^2 + c^2$。
(2)解：因为$a=5$，由
(1)知$b^2 + c^2=2a^2=50$，
又$\cos A=\frac{25}{31}$，由余弦定理$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，
得$25 = 50 - 2bc\cdot\frac{25}{31}$，
即$2bc\cdot\frac{25}{31}=25$，解得$bc=\frac{31}{2}$，
所以$(b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc=50 + 31=81$，则$b + c=9$，
故$\triangle ABC$的周长为$a + b + c=5 + 9=14$。
答案：
(1)见证明过程；
(2)$14$。