《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

17. (15分)一颗人造地球卫星在地球上空1 600 km处沿着圆形的轨道运行,每2 h沿轨道绕地球旋转一圈.假设卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空,地球半径约为6 400 km.
(1)求人造卫星与卫星跟踪站在$12:03$时相隔的距离是多少.
(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星,那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少?(参考数据:$cos9^{\circ }\approx 0.988,sin9^{\circ }$$\approx 0.156)$

答案：
【解析】
(1)如图所示,设人造卫星在$12:03$时位于C点,其中$∠AOC=β,$则$β=360^{\circ }×\frac {3}{120}=9^{\circ },$在$△ACO$中,$OA=6400km,OC=6400+1600=8000(km),$由余弦定理得$AC^{2}=6400^{2}+8000^{2}-2×6400×8000cos9^{\circ }\approx 3.79×10^{6}$,解得$AC\approx 1.95×10^{3},$因此,在$12:03$时,人造卫星与卫星跟踪站相距约$1.95×10^{3}km.$
(2)如图所示,设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ,则$∠CAO=γ+90^{\circ },$由正弦定理得$\frac {sin9^{\circ }}{1950}=\frac {sin(γ+90^{\circ })}{8000},$故$sin(γ+90^{\circ })=\frac {8000}{1950}sin9^{\circ }\approx 0.64,$即$cosγ\approx 0.64,$因此天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.

18. (17分)已知$\triangle ABC$中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足$acosB-\frac {\sqrt {7}}{7}ac= bcos(π$$-A),cos2A= cosA.$
(1)求$\triangle ABC$外接圆的半径大小;
(2)若$b+c= 2\sqrt {2}$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)解：因为$acosB-\frac{\sqrt{7}}{7}ac = bcos(π - A)$，而$cos(π - A)=-cosA$，所以$acosB + bcosA=\frac{\sqrt{7}}{7}ac$。
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$（$R$为外接圆半径），得$a = 2RsinA$，$b = 2RsinB$，$c = 2RsinC$。代入上式得：
$2RsinAcosB + 2RsinBcosA=\frac{\sqrt{7}}{7}×2RsinA×2RsinC$
两边约去$2R$，得$sinAcosB + sinBcosA=\frac{\sqrt{7}}{7}×2RsinA sinC$
因为$sin(A + B)=sinAcosB + sinBcosA$，且$A + B + C = π$，所以$sin(A + B)=sin(π - C)=sinC$，则$sinC=\frac{\sqrt{7}}{7}×2RsinA sinC$。
因为$sinC\gt0$，两边约去$sinC$，得$1=\frac{\sqrt{7}}{7}×2RsinA$，即$2RsinA=\sqrt{7}$。
又因为$cos2A = cosA$，根据二倍角公式$cos2A=2cos²A - 1$，所以$2cos²A - cosA - 1 = 0$，解得$cosA = 1$或$cosA=-\frac{1}{2}$。
因为$A$为三角形内角，$0\lt A\lt π$，所以$cosA = 1$时$A = 0$（舍去），故$cosA=-\frac{1}{2}$，则$A=\frac{2π}{3}$，$sinA=sin\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
代入$2RsinA=\sqrt{7}$，得$2R×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{7}$，解得$2R=\frac{2\sqrt{21}}{3}$，所以$R=\frac{\sqrt{21}}{3}$。
(2)解：由
(1)知$a=\sqrt{7}$，$A=\frac{2π}{3}$，且$b + c=2\sqrt{2}$。
根据余弦定理$a² = b² + c² - 2bccosA$，因为$cosA=-\frac{1}{2}$，所以$a² = b² + c² + bc$。
又因为$b² + c²=(b + c)² - 2bc$，所以$a²=(b + c)² - bc$，即$(\sqrt{7})²=(2\sqrt{2})² - bc$，$7 = 8 - bc$，解得$bc = 1$。
所以$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
(1)外接圆半径$R=\frac{\sqrt{21}}{3}$；
(2)面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$。