《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城. 徽州古城中有一古建筑,其底层部分可近似看作一个正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$.已知该正方体中,点$E,F分别是棱AA_{1},CC_{1}$的中点,过$D_{1}$,$E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l$,则直线$l与直线AD_{1}$所成角为( )

A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{\pi}{6}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案：
A　如图所示,在平面 $ AA_1D_1D $ 中,连接 $ D_1E $ 与 $ DA $ 的延长线交于 $ H $,则 $ HA = AD $。
　　　
　在平面 $ CC_1D_1D $ 中，连接 $ D_1F $ 与 $ DC $ 的延长线交于 $ G $，则 $ GC = CD $。
　则 $ GH $ 为平面 $ D_1EF $ 与平面 $ ABCD $ 的交线 $ l $，且 $ GH // AC $。
　而在等边 $ \triangle ACD_1 $ 中 $ AC $ 与 $ AD_1 $ 所成的角为 $ \frac{\pi}{3} $，故 $ l $ 与直线 $ AD_1 $ 所成的角为 $ \frac{\pi}{3} $。

2.将边长为1的正方形$AA_{1}O_{1}O绕OO_{1}$旋转一周形成圆柱,如图,$\overset{\frown}{AC}长为\frac{2\pi}{3}$,$\overset{\frown}{A_{1}B_{1}}长为\frac{\pi}{3}$,其中$B_{1}与C在平面AA_{1}O_{1}O$的同侧.则异面直线$B_{1}C与AA_{1}$所成的角的大小为( )

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案：
B　如图，过 $ B_1 $ 作 $ B_1B \perp $ 底面圆 $ O $，垂足为点 $ B $，连接 $ OB $，$ BC $，则根据题意易知 $ AA_1 // B_1B $，且 $ \angle COB = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $，所以异面直线 $ B_1C $ 与 $ AA_1 $ 所成的角为 $ \angle BB_1C $，在 $ Rt \triangle BB_1C $ 中，易知 $ B_1B = OB = BC $，所以 $ \angle BB_1C = \frac{\pi}{4} $。
　　　　

3.在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$E为棱CC_{1}$的中点,则( )

A.$AE\perp CC_{1}$
B.$AE\perp B_{1}D_{1}$
C.$AE\perp BC$
D.$AE\perp CD$

答案：
B　如图所示。
　　　　
　连接 $ AC $，$ BD $，因为 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 是正方体，所以四边形 $ ABCD $ 是正方形，$ AC \perp BD $，$ CE \perp $ 平面 $ ABCD $，所以 $ BD \perp CE $，而 $ AC \cap CE = C $，故 $ BD \perp $ 平面 $ ACE $，因为 $ BD // B_1D_1 $，故 $ B_1D_1 \perp $ 平面 $ ACE $，故 $ B_1D_1 \perp AE $。

4.如图,棱长为$a的正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$M为BC$中点,则直线$D_{1}M与平面ABCD$所成角的正切值为(C)
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： C

5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}的体积为\frac{52}{3}$,$AB = 6$,$A_{1}B_{1} = 2$,则$AA_{1}与平面ABC$所成角的正切值为(B)
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3

答案： B　设棱台高为 $ h $，三条侧棱延长后交于一点 $ O $，则由 $ AB = 3A_1B_1 $ 知，$ O $ 到上底的距离为 $ \frac{1}{2}h $，$ O $ 到下底的距离为 $ \frac{3}{2}h $。
　又 $ S_{\triangle ABC} = 9\sqrt{3} $，$ S_{\triangle A_1B_1C_1} = \sqrt{3} $，所以 $ \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}h - \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}h = \frac{52}{3} \Rightarrow h = \frac{4}{\sqrt{3}} $，上底中心到顶点 $ A_1 $ 的距离为 $ \frac{2}{\sqrt{3}} $，所以所求正切值为 $ \frac{\frac{1}{2}h}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{4}h = 1 $。

6.如图,在正方形$ABCD$中,$E,F分别是BC$,$CD$的中点,$G是EF$的中点,现在沿$AE,AF及EF$把这个正方形折成一个空间图形,使$B,C,D$三点重合,重合后的点记为$H$,那么,在这个空间图形中必有(B)

A.$AG\perp\triangle EFH$所在平面
B.$AH\perp\triangle EFH$所在平面
C.$HF\perp\triangle AEF$所在平面
D.$HG\perp\triangle AEF$所在平面

答案： B

7.(多选题)已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,则( )

A.直线$BC_{1}与DA_{1}所成的角为90^{\circ}$
B.直线$BC_{1}与CA_{1}所成的角为90^{\circ}$
C.直线$BC_{1}与平面BB_{1}D_{1}D所成的角为45^{\circ}$
D.直线$BC_{1}与平面ABCD所成的角为45^{\circ}$

答案：
ABD　如图，连接 $ B_1C $，$ BC_1 $。
　　　
　因为 $ DA_1 // B_1C $，所以直线 $ BC_1 $ 与 $ B_1C $ 所成的角即为直线 $ BC_1 $ 与 $ DA_1 $ 所成的角，因为四边形 $ BB_1C_1C $ 为正方形，则 $ B_1C \perp BC_1 $，故直线 $ BC_1 $ 与 $ DA_1 $ 所成的角为 $ 90^{\circ} $，A正确。
　连接 $ A_1C $，因为 $ A_1B_1 \perp $ 平面 $ BB_1C_1C $，$ BC_1 \subset $ 平面 $ BB_1C_1C $，则 $ A_1B_1 \perp BC_1 $，因为 $ B_1C \perp BC_1 $，$ A_1B_1 \cap B_1C = B_1 $，所以 $ BC_1 \perp $ 平面 $ A_1B_1C $，又 $ A_1C \subset $ 平面 $ A_1B_1C $，所以 $ BC_1 \perp CA_1 $，故B正确。
　连接 $ A_1C_1 $，设 $ A_1C_1 \cap B_1D_1 = O $，连接 $ BO $，因为 $ BB_1 \perp $ 平面 $ A_1B_1C_1D_1 $，$ C_1O \subset $ 平面 $ A_1B_1C_1D_1 $，则 $ C_1O \perp B_1B $，因为 $ C_1O \perp B_1D_1 $，$ B_1D_1 \cap B_1B = B_1 $，所以 $ C_1O \perp $ 平面 $ BB_1D_1D $，所以 $ \angle C_1BO $ 为直线 $ BC_1 $ 与平面 $ BB_1D_1D $ 所成的角，设正方体棱长为 $ 1 $，则 $ C_1O = \frac{\sqrt{2}}{2} $，$ BC_1 = \sqrt{2} $，$ \sin \angle C_1BO = \frac{C_1O}{BC_1} = \frac{1}{2} $，所以直线 $ BC_1 $ 与平面 $ BB_1D_1D $ 所成的角为 $ 30^{\circ} $，故C错误。
　因为 $ C_1C \perp $ 平面 $ ABCD $，所以 $ \angle C_1BC $ 为直线 $ BC_1 $ 与平面 $ ABCD $ 所成的角，易得 $ \angle C_1BC = 45^{\circ} $，故D正确。

8.(多选题)如图,直线$PA垂直于圆O$所在的平面,$\triangle ABC内接于圆O$,且$AB为圆O$的直径,点$M为线段PB$的中点.以下各结论中,正确的为(ABC)
A.$BC\perp PC$
B.$OM//平面APC$
C.点$B到平面PAC的距离等于线段BC$的长
D.三棱锥$M - PAC的体积等于三棱锥P - ABC$体积

答案： ABC