《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1. 在$\triangle ABC$中,$a= 7,b= 4\sqrt {3},c= \sqrt {13}$,则$\triangle ABC$的最小角为 (B)
A.$\frac {π}{3}$
B.$\frac {π}{6}$
C.$\frac {π}{4}$
D.$\frac {π}{12}$

答案： B　由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$=$\frac{7^{2}+(4\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}{2×7×4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以C=$\frac{\pi}{6}$.

2. 在$\triangle ABC$中,$AB= 3$,AC边上的中线$BD= \sqrt {5},\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AB}= 5$,则AC的长为 (B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

3. 点P在平面上做匀速直线运动,速度$v= (4,-3)$,设开始时点P的坐标为$(-10,10)$,则5s后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m) (C)
A.$(-2,4)$
B.$(-30,25)$
C.$(10,-5)$
D.$(5,-10)$

答案： C

4. 一物体在力F的作用下,由点$A(15,6)$移动到点$B(4,1)$,若$F= (1,-6)$,则F对物体所做的功为 (19)
A.-23
B.23
C.-19
D.19

答案： D因为$\overrightarrow{AB}=(-11,-5)$，$\overrightarrow{F}=(1,-6)$，所以$\overrightarrow{F}$对物体所做的功为$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{F}=-11×1+(-5)×(-6)=19$.

5. $\triangle ABC的三边长分别为AB= 7,BC= 5,CA= 6$,则$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}$的值为 (-19)
A.19
B.14
C.-18
D.-19

答案： 由余弦定理的推论知$\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{19}{35}$，所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\pi - B)=7×5×(-\frac{19}{35})=-19$.

6. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形$A'B'C'$拼成的一个大等边三角形ABC,若$A'B'= 2,cos∠ABB'= \frac {11}{14}$,则$AB= $ (C)


A.5
B.6
C.7
D.8

答案： C

7. (多选题)小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法正确的是 (AC)

A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船所受浮力不断变小
D.船所受浮力保持不变

答案： AC设水的阻力为$f$，绳子的拉力为$F$，$F$与水平方向的夹角为$\theta$，$0＜\theta＜\frac{\pi}{2}$.则$|F|\cos\theta = |f|$，所以$|F|=\frac{|f|}{\cos\theta}$.因为$\theta$增大，$\cos\theta$减小，所以$|F|$增大.因为$|F|\sin\theta$增大，且船的重力为$|F|\sin\theta$与浮力之和，所以船所受浮力减小.

8. (多选题)在$\triangle ABC$中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若$(a^{2}+c^{2}-b^{2})tanB= ac$,则角B的值为 (AC)
A.$\frac {π}{6}$
B.$\frac {π}{3}$
C.$\frac {5π}{6}$
D.$\frac {2π}{3}$

答案： 1. 首先，根据余弦定理：
余弦定理公式为$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，则$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos B$。
2. 然后，将$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos B$代入已知条件$(a^{2}+c^{2}-b^{2})\tan B = ac$中：
得到$2ac\cos B\cdot\frac{\sin B}{\cos B}=ac$（因为$\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}$）。
化简$2ac\cos B\cdot\frac{\sin B}{\cos B}=ac$，$ac\neq0$（三角形的边$a\gt0$，$c\gt0$），两边同时除以$ac$，可得$2\sin B = 1$。
所以$\sin B=\frac{1}{2}$。
3. 最后，根据角$B$的范围：
因为$B\in(0,\pi)$，且$\sin B=\frac{1}{2}$，所以$B = \frac{\pi}{6}$或$B=\frac{5\pi}{6}$。
综上，答案是AC。

9. 在四边形ABCD中,已知$\overrightarrow {AB}= (4,-2),\overrightarrow {AC}= (7,4),\overrightarrow {AD}= (3,6)$,则四边形ABCD的面积是______30.

答案： 30

10. 在$\triangle ABC$中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且$a= 3,b= 4,c= 6$,则$bccosA+accosB+abcosC$的值是______$\frac{61}{2}$.

答案： 【解析】$bc\cos A + ac\cos B + ab\cos C=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$.因为$a = 3$，$b = 4$，$c = 6$，所以$bc\cos A + ac\cos B + ab\cos C=\frac{1}{2}×(3^{2}+4^{2}+6^{2})=\frac{61}{2}$.答案：$\frac{61}{2}$

11. (2023·全国甲卷)在$\triangle ABC$中,$AB= 2,∠BAC= 60^{\circ },BC= \sqrt {6}$,D为BC上一点,AD为$∠BAC$的平分线,则$AD= $______.

答案：
【解析】如图所示，记$AB = c$，$AC = b$，$BC = a$.

方法一：由余弦定理可得，$2^{2}+b^{2}-2×2×b×\cos60^{\circ}=6$，因为$b＞0$，所以$b = 1 + \sqrt{3}$.由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$可得，$\frac{1}{2}×2×b×\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}×2×AD×\sin30^{\circ}+\frac{1}{2}×AD×b×\sin30^{\circ}$，解得$AD=\frac{\sqrt{3}b}{1+\frac{b}{2}}=\frac{2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}=2$.
方法二：由余弦定理可得，$2^{2}+b^{2}-2×2×b×\cos60^{\circ}=6$，因为$b＞0$，所以$b = 1 + \sqrt{3}$.由正弦定理可得，$\frac{\sqrt{6}}{\sin60^{\circ}}=\frac{b}{\sin B}=\frac{2}{\sin C}$，解得$\sin B=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$1 + \sqrt{3}＞\sqrt{6}＞2$，所以$C = 45^{\circ}$，$B = 180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$.又$∠BAD = 30^{\circ}$，所以$∠ADB = 75^{\circ}$，即$AD = AB = 2$.答案：2

12. 如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角$∠ABC= 120^{\circ }$;从B处攀登4千米到达D处,回头看索道AC,发现张角$∠ADC= 150^{\circ }$;从D处再攀登8千米方到达C处,则索道AC的长为$4\sqrt{13}$千米.

答案： $4\sqrt{13}$