《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14.设a,b为共轭复数,且$(a+b)^{2}-3abi= 4-6i$,求a和b.

答案： 14. [解析]设$a = x + yi,b = x - yi(x,y \in R)$，则$(a + b)^2 - 3abi = (x + yi + x - yi)^2 - 3(x + yi)(x - yi)i = 4x^2 - 3i(x^2 + y^2) = 4 - 6i$.
所以$\begin{cases}x^2 = 1\\x^2 + y^2 = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \pm 1\\y = \pm 1\end{cases}$，
所以$\begin{cases}a = 1 + i\\b = 1 - i\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1 - i\\b = 1 + i\end{cases}$或$\begin{cases}a = -1 + i\\b = -1 - i\end{cases}$或$\begin{cases}a = -1 - i\\b = -1 + i\end{cases}$.

15.在复数范围内解下列方程.
(1)$x^{2}+5= 0;$
(2)$3x^{2}+2x+1= 0;$
(3)$x^{2}+4x+6= 0.$

答案： 15. [解析]
(1)因为$\Delta = -20 ＜ 0$，
所以由求根公式得$x = \frac{\pm \sqrt{20}i}{2} = \pm \sqrt{5}i$.
(2)因为$\Delta = 2^2 - 4 × 3 = -8 ＜ 0$，
所以由求根公式得$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}i}{2 × 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}i}{3}$.
(3)因为$\Delta = 4^2 - 4 × 6 = -8 ＜ 0$，
所以由求根公式得$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}i}{2} = -2 \pm \sqrt{2}i$.