《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14.已知$\boldsymbol {a}\perp \boldsymbol {b}$,且$|\boldsymbol {a}|= 2,|\boldsymbol {b}|= 1$,若有两个不同时为零的实数k,t,使得$\boldsymbol {a}+(t-3)\boldsymbol {b}与-k\boldsymbol {a}+t\boldsymbol {b}$垂直,试求k的最小值.

答案： 【解析】因为 $a \perp b$，所以 $a \cdot b = 0$。
由已知得 $[a + (t - 3)b] \cdot (-ka + tb) = 0$，
所以 $-ka^2 + t(t - 3)b^2 = 0$。
因为 $|a| = 2$，$|b| = 1$，
所以 $-4k + t(t - 3) = 0$，
所以 $k = \frac{1}{4}(t^2 - 3t) = \frac{1}{4}\left( t - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{16}$。
故当 $t = \frac{3}{2}$ 时，k 取最小值，为 $-\frac{9}{16}$。

15.已知向量$\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}满足|\boldsymbol {a}|= |\boldsymbol {b}|= 5$,且$\boldsymbol {a}与\boldsymbol {b}的夹角为60^{\circ }$,求$|\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}|,|\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}|,|2\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}|$.

答案： 【解析】因为 $|a + b|^2 = (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = |a|^2 + |b|^2 + 2a \cdot b = 25 + 25 + 2|a||b|\cos 60^\circ = 50 + 2 × 5 × 5 × \frac{1}{2} = 75$，
所以 $|a + b| = 5\sqrt{3}$。
$|a - b|^2 = (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = |a|^2 + |b|^2 - 2a \cdot b = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos 60^\circ = 25$，
所以 $|a - b| = 5$。
$|2a + b|^2 = (2a + b) \cdot (2a + b) = 4|a|^2 + |b|^2 + 4a \cdot b = 4|a|^2 + |b|^2 + 4|a||b|\cos 60^\circ = 175$。
所以 $|2a + b| = 5\sqrt{7}$。