《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

9.把一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体后,表面积增加了12a².

答案： 【解析】原正方体的棱长为 $ a $，表面积为 $ S = 6 a ^ { 2 } $，切成的 $ 27 $ 个小正方体的棱长为 $ \frac { 1 } { 3 } a $，每个小正方体的表面积 $ S _ { 1 } = \frac { 1 } { 9 } a ^ { 2 } × 6 = \frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } $，所以 $ 27 $ 个小正方体的表面积是 $ \frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } × 27 = 18 a ^ { 2 } $，表面积增加了 $ 12 a ^ { 2 } $。答案：$ 12 a ^ { 2 } $

10.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为______14π.

答案： $ 14 \pi $

11.如图所示,正方体ABCD-$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为1,E为线段$B_{1}C$上的一点,则三棱锥A-$DED_{1}$的体积为______$\frac{1}{6}$.

答案： $ \frac { 1 } { 6 } $

12.如图,已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1,母线PA的长度为2,半径为$R_{1}的球O_{1}$与圆锥的侧面相切,并与底面相切于点O,则$R_{1}$= ______;若球$O_{2}与球O_{1}$、圆锥的底面和侧面均相切,则球$O_{2}$的表面积为______.

答案：
【解析】该几何体的轴截面如图所示，
由题意可知 $ \triangle P A B $ 为等边三角形，且边长为 $ 2 $，圆 $ O _ { 1 } $ 与三角形的三边都相切，圆 $ O _ { 1 } $ 的半径等于球 $ O _ { 1 } $ 的半径为 $ R _ { 1 } $，则 $ \frac { 1 } { 2 } ( 2 + 2 + 2 ) R _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } × 2 × 2 \sin 60 ^ { \circ } $，解得 $ R _ { 1 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $，因为 $ \angle O _ { 1 } A O = 30 ^ { \circ } $，所以 $ A O _ { 2 } = 2 O _ { 2 } C = 2 R _ { 2 } $，$ A O _ { 1 } = 2 O O _ { 1 } = 2 R _ { 1 } $，因为 $ A O _ { 1 } = A O _ { 2 } + O _ { 2 } O _ { 1 } $，所以 $ 2 R _ { 1 } = 2 R _ { 2 } + R _ { 2 } + R _ { 1 } $，所以 $ R _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } R _ { 1 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 9 } $，所以球 $ O _ { 2 } $ 的表面积为 $ 4 \pi R _ { 2 } ^ { 2 } = 4 \pi \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 9 } \right) ^ { 2 } = \frac { 4 } { 27 } \pi $。答案：$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $ $ \frac { 4 } { 27 } \pi $

13.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面为全等的等腰梯形的四棱台$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$-ABCD,其上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$.现需对该零部件表面进行防腐处理,已知AB= 10,$A_{1}B_{1}$= 20,$AA_{2}$= 30,$AA_{1}$= 13(单位:cm),若加工处理费为0.2元/$cm^{2}$,则需支付加工处理费多少元?

答案： 解：
上部四棱柱表面积 $ S_1 $
四棱柱 $ ABCD-A_2B_2C_2D_2 $ 上底面为正方形，侧面为矩形。
- 上底面面积：$ A_2B_2^2 = AB^2 = 10^2 = 100 \, \text{cm}^2 $
- 侧面面积：$ 4 × AB × AA_2 = 4 × 10 × 30 = 1200 \, \text{cm}^2 $
- $ S_1 = 100 + 1200 = 1300 \, \text{cm}^2 $
下部四棱台表面积 $ S_2 $
四棱台 $ A_1B_1C_1D_1-ABCD $ 下底面为正方形，侧面为等腰梯形。
- 下底面面积：$ A_1B_1^2 = 20^2 = 400 \, \text{cm}^2 $
- 侧面等腰梯形高：$ h = \sqrt{AA_1^2 - \left( \frac{A_1B_1 - AB}{2} \right)^2} = \sqrt{13^2 - \left( \frac{20 - 10}{2} \right)^2} = \sqrt{169 - 25} = 12 \, \text{cm} $
- 侧面面积：$ 4 × \frac{1}{2} × (AB + A_1B_1) × h = 4 × \frac{1}{2} × (10 + 20) × 12 = 720 \, \text{cm}^2 $
- $ S_2 = 400 + 720 = 1120 \, \text{cm}^2 $
零部件总表面积 $ S $
$ S = S_1 + S_2 = 1300 + 1120 = 2420 \, \text{cm}^2 $
加工处理费
$ 0.2 × 2420 = 484 \, \text{元} $
答：需支付加工处理费 484 元。

14.如图,已知直角梯形ABCD,BC//AD,∠ABC= 90°,AB= 5,BC= 16,AD= 4.求:
(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

答案：
【解析】
(1) 以 $ A B $ 所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台，其上底面半径是 $ 4 $，下底面半径是 $ 16 $，母线 $ D C = \sqrt { 5 ^ { 2 } + ( 16 - 4 ) ^ { 2 } } = 13 $。故该几何体的表面积为 $ \pi ( 4 + 16 ) × 13 + \pi × 4 ^ { 2 } + \pi × 16 ^ { 2 } = 532 \pi $。
(2) 以 $ B C $ 所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图.
其中圆锥的高为 $ 16 - 4 = 12 $，圆柱的母线长为 $ A D = 4 $，故该几何体的表面积为 $ 2 \pi × 5 × 4 + \pi × 5 ^ { 2 } + \pi × 5 × 13 = 130 \pi $。

15.如图,三棱锥A-BCD中,AD,BD,CD两两垂直,AD= 1,BD= CD= 2.
(1)求该几何体外接球的体积;
(2)求该几何体内切球的半径.

答案： 【解析】
(1) 以 $ D C $，$ D B $，$ D A $ 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径 $ R = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 } $，所以该几何体外接球的体积 $ V = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } = \frac { 9 } { 2 } \pi $。
(2) 设内切球的球心为 $ O $，半径为 $ r $，则 $ V _ { A - B C D } = V _ { O - A D B } + V _ { O - A D C } + V _ { O - D C B } + V _ { O - A B C } $。即 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 2 × 2 × 1 = \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 2 × 2 r + \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 2 × r + \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 2 × r + \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 2 \sqrt { 2 } × \sqrt { 3 } r $，得 $ r = \frac { 2 } { 4 + \sqrt { 6 } } = \frac { 4 - \sqrt { 6 } } { 5 } $。所以该几何体内切球的半径为 $ \frac { 4 - \sqrt { 6 } } { 5 } $。