《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1.正方体的表面积为96,则正方体的体积是(64)
A.48$\sqrt{6}$
B.64
C.16
D.96

答案： B 设正方体棱长为 $ a $ 则 $ 6 a ^ { 2 } = 96 $，$ a = 4 $，$ V _ { \text { 正方体 } } = a ^ { 3 } = 64 $。

2.圆台上、下底面面积分别是$\pi$、4$\pi$,侧面积是6$\pi$,这个圆台的体积是 (D)
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$
B.2$\sqrt{3}\pi$
C.$\frac{7\sqrt{3}}{6}\pi$
D.$\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$

答案： D

3.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0$km^{2}$;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0$km^{2}$.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为($\sqrt{7}$≈2.65) (C)
A.1.0×10$^{9}$m$^{3}$
B.1.2×10$^{9}$m$^{3}$
C.1.4×10$^{9}$m$^{3}$
D.1.6×10$^{9}$m$^{3}$

答案： C

4.沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时,当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的一半时,所需时间为 (B)

A.$\frac{1}{3}$小时
B.$\frac{7}{8}$小时
C.$\frac{26}{27}$小时
D.$\frac{8}{9}$小时

答案： B

5.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 (4πS)
A.4$\pi$S
B.2$\pi$S
C.$\pi$S
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$S

答案： A 底面半径是 $ \sqrt { \frac { S } { \pi } } $，所以正方形的边长是 $ 2 \pi \sqrt { \frac { S } { \pi } } = 2 \sqrt { \pi S } $，故圆柱的侧面积是 $ ( 2 \sqrt { \pi S } ) ^ { 2 } = 4 \pi S $。

6.图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一,它的顶部被称为垛.每只垛的结构如图②,可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体.已知AD= 1,AB= 4,$\overrightarrow{FG}$= $\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}$,现计划覆以小青瓦,覆盖面为“前”“后”两面,“前面”如图③阴影部分,则小青瓦所要覆盖的面积为 (8 + \frac{\sqrt{3}}{9})
A.$\frac{\sqrt{3}}{9}$+8
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$+8
C.$\frac{11\sqrt{3}}{18}$+12
D.$\frac{2\sqrt{3}}{9}$+12

答案： A 由题意，$ \overrightarrow { F G } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { D A } $，且 $ A D = 1 $，则 $ F G = \frac { 1 } { 3 } $，则正四面体的一个面为边长为 $ \frac { 1 } { 3 } $ 的正三角形，其面积为 $ \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } × \frac { 1 } { 9 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 36 } $；又 $ A B = 4 $，则正三棱柱的一个侧面为长为 $ 4 $，宽为 $ 1 $ 的矩形，其面积为 $ 4 × 1 = 4 $；所以小青瓦所要覆盖的面积 $ S $ 为 $ 4 $ 个正三角形与 $ 2 $ 个矩形的面积和，则 $ S = 4 × 2 + \frac { \sqrt { 3 } } { 36 } × 4 = 8 + \frac { \sqrt { 3 } } { 9 } $。

7.(多选题)如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,其中说法正确的是 (CD)

A.有水的部分始终呈棱台状
B.水面四边形EFGH的面积不改变
C.有水的部分始终呈棱柱状
D.当E∈$AA_{1}$时,AE+BF是定值

答案： CD 从棱柱的特征平面 $ A A _ { 1 } B _ { 1 } B $ 平行于平面 $ C C _ { 1 } D _ { 1 } D $ 即可判断 A 错误，C 正确；在 B 中，水面四边形 $ E F G H $ 中的 $ E F $ 是可以变化的，$ E H $ 是不变的，所以面积是改变的，故 B 不正确；在 D 中，当 $ E $ 在棱 $ A A _ { 1 } $ 上时，$ A E + B F $ 是定值. 水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，故 D 正确。

8.(多选题)已知A,B,C三点均在球O的表面上,AB= BC= CA= 2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的$\frac{1}{3}$,则下列结论正确的是 (AD)
A.球O的表面积为6$\pi$
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为$\frac{4}{3}$
D.球O的内接正四面体的棱长为2

答案： AD