《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14.设实数x,y,θ满足以下关系:$x+yi= 3+5cosθ+i(-4+5sinθ)$,则$x^{2}+y^{2}$的最大值是100.

答案： 100

15.(13分)计算:(1)$(-\frac {1}{2}+\frac {\sqrt {3}}{2}i)(\frac {\sqrt {3}}{2}+\frac {1}{2}i)(1+i).$
(2)$\frac {(1+i)^{3}-(1-i)^{3}}{(1+i)^{2}-(1-i)^{2}}.$

答案：
(1)解：$(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)(1+i)$
$=(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i+\frac{3}{4}i+\frac{\sqrt{3}}{4}i^{2})(1+i)$
$=(-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{4})(1+i)$
$=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)(1+i)$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}i^{2}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}$
$=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}i$
(2)解：$\frac{(1+i)^{3}-(1-i)^{3}}{(1+i)^{2}-(1-i)^{2}}$
$=\frac{(1+i)^{2}(1+i)-(1-i)^{2}(1-i)}{(1+2i+i^{2})-(1-2i+i^{2})}$
$=\frac{2i(1+i)-(-2i)(1-i)}{2i-(-2i)}$
$=\frac{2i+2i^{2}+2i-2i^{2}}{4i}$
$=\frac{4i}{4i}$
$=1$

16.(15分)已知复数$z= 1-2i.$
(1)求$|z|;$
(2)若$z_{1}= \frac {z}{3+4i}$,求$z_{1};$
(3)若$|z_{2}|= \sqrt {5}$,且$zz_{2}$是纯虚数,求$z_{2}.$

答案：
(1)解：$|z|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$
(2)解：$z_1=\frac{z}{3+4i}=\frac{1-2i}{3+4i}=\frac{(1-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{3-4i-6i+8i^2}{9-16i^2}=\frac{-5-10i}{25}=-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$
(3)解：设$z_2=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$，由$|z_2|=\sqrt{5}$得$a^2+b^2=5$
$zz_2=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i$
因$zz_2$是纯虚数，所以$\begin{cases}a+2b=0\\b-2a\neq0\end{cases}$
联立$\begin{cases}a^2+b^2=5\\a+2b=0\\b-2a\neq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}$或$\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}$
故$z_2=2-i$或$z_2=-2+i$