《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

11.给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是____①②.

答案： ①②

12.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列说法:

①点H与点C重合;②点D,M,R重合;
③点B与点Q重合;④点A与点S重合.
其中正确说法的序号是____②④.

答案： 【解析】将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面 $NPGF$ 为“下”，面 $PSRN$ 为“后”，则面 $PQHG$，$MNFE$，$EFCB$，$DEBA$ 分别为“右”“左”“前”“上”。按各面的标记折成正方体，则点 $D$，$M$，$R$ 重合；点 $G$，$C$ 重合；点 $B$，$H$ 重合；点 $A$，$S$，$Q$ 重合。故②④正确，①③错误。
答案：②④

13.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
(3)每个面的三角形面积为多少?

答案：
【解析】
(1)如图，折起后的几何体是三棱锥。

(2)这个几何体共有 4 个面，其中 $\triangle DEF$ 为等腰三角形，$\triangle PEF$ 为等腰直角三角形，$\triangle DPE$ 和 $\triangle DPF$ 均为直角三角形。
(3) $S_{\triangle PEF} = \frac{1}{2}a^2$，$S_{\triangle DPF} = S_{\triangle DPE} = \frac{1}{2}×2a·a = a^2$，$S_{\triangle DEF} = S_{正方形ABCD} - S_{\triangle PEF} - S_{\triangle DPF} - S_{\triangle DPE} = (2a)^2 - \frac{1}{2}a^2 - a^2 - a^2 = \frac{3}{2}a^2$。

14.在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB= 4,BC= 3,BB_{1}= 5$,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点$C_{1}$,求蚂蚁爬行的最短路线.

答案：
【解析】沿长方体的一条棱剪开，使 $A$ 和 $C_1$ 在同一平面上，求线段 $AC_1$ 的长即可，有如下图所示的三种剪法。

(1)若将 $C_1D_1$，$A_1D_1$，$B_1C_1$ 剪开，使点 $A$，$B$，$C_1$，$D_1$ 在一个平面内，可求得 $AC_1 = \sqrt{4^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
(2)若将 $AD$，$AB$，$CD$ 剪开，使点 $A$，$D$，$C_1$，$B_1$ 在一个平面内，可求得 $AC_1 = \sqrt{3^2 + (5 + 4)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$。
(3)若将 $CC_1$，$B_1C_1$，$BC$ 剪开，使点 $A$，$A_1$，$C_1$，$C$ 在一个平面内，可求得 $AC_1 = \sqrt{(4 + 3)^2 + 5^2} = \sqrt{74}$。
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 $\sqrt{74}$。

15.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r= 1,母线长l= 4,M为母线SA上的一个点,且SM= x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.

答案：
【解析】将圆锥的侧面沿 $SA$ 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧 $AA'$ 的长度 $L$ 就是圆 $O$ 的周长。

所以 $L = 2\pi r = 2\pi$。
所以 $\angle ASM = \frac{L}{2\pi l}×360^{\circ} = \frac{2\pi}{2\pi×4}×360^{\circ} = 90^{\circ}$。
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 $AM$，其值为 $AM = \sqrt{x^2 + 16}$ $(0\leqslant x\leqslant 4)$。
$f(x) = AM^2 = x^2 + 16(0\leqslant x\leqslant 4)$。
(2)绳子最短时，在展开图中作 $SR\perp AM$，垂足为 $R$，则 $SR$ 的长度为顶点 $S$ 到绳子的最短距离。
在 $\triangle SAM$ 中，因为 $S_{\triangle SAM} = \frac{1}{2}SA·SM = \frac{1}{2}AM·SR$，所以 $SR = \frac{SA·SM}{AM} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 16}}$ $(0\leqslant x\leqslant 4)$，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为 $\frac{4x}{\sqrt{x^2 + 16}}$ $(0\leqslant x\leqslant 4)$。
(3)因为 $f(x) = x^2 + 16(0\leqslant x\leqslant 4)$ 是增函数，所以 $f(x)$ 的最大值为 $f(4) = 32$。