《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

16. (15分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h),以$[160,180)$,$[180,200)$,$[200,220)$,$[220,240)$,$[240,260)$,$[260,280)$,$[280,300]$分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为$[220,240)$,$[240,260)$,$[260,280)$,$[280,300]$的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在$[220,240)$的用户中应抽取多少户?

答案： 【解析】
(1)由直方图的性质可得$(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025)×20 = 1$，解得$x = 0.0075$，所以直方图中 x 的值为 0.0075。
(2)由直方图知：月平均用电量的众数是$\frac{220 + 240}{2}=230$。因为$(0.002 + 0.0095 + 0.011)×20 = 0.45＜0.5$，所以月平均用电量的中位数在$[220,240)$内。设中位数为 a，由$(0.002 + 0.0095 + 0.011)×20 + 0.0125×(a - 220)=0.5$，可得$a = 224$。所以月平均用电量的中位数为 224。
(3)月平均用电量为$[220,240)$的用户有$0.0125×20×100 = 25$，月平均用电量为$[240,260)$的用户有$0.0075×20×100 = 15$，月平均用电量为$[260,280)$的用户有$0.005×20×100 = 10$，月平均用电量为$[280,300]$的用户有$0.0025×20×100 = 5$，所以抽取比例为$\frac{11}{25 + 15 + 10 + 5}=\frac{1}{5}$，所以月平均用电量在$[220,240)$的用户中应抽取$25×\frac{1}{5}=5$（户）。