《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

19.(17分)已知复数z满足$|z|= \sqrt {2},z^{2}$的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设$z,z^{2},z-z^{2}$在复平面上的对应点分别为A,B,C,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)设$z = a + bi$（$a,b \in \mathbb{R}$），则$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$。
由$|z| = \sqrt{2}$得$a^2 + b^2 = 2$，由$z^2$的虚部是$2$得$2ab = 2$，即$ab = 1$。
联立$\begin{cases}a^2 + b^2 = 2 \\ ab = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = -1 \\ b = -1\end{cases}$，
故$z = 1 + i$或$z = -1 - i$。
(2)①当$z = 1 + i$时，$z^2 = 2i$，$z - z^2 = 1 - i$。
对应点$A(1,1)$，$B(0,2)$，$C(1,-1)$。
$AC$的长度为$|1 - (-1)| = 2$，点$B$到直线$AC$（$x = 1$）的距离为$|1 - 0| = 1$，
$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
②当$z = -1 - i$时，$z^2 = 2i$，$z - z^2 = -1 - 3i$。
对应点$A(-1,-1)$，$B(0,2)$，$C(-1,-3)$。
$AC$的长度为$|-1 - (-3)| = 2$，点$B$到直线$AC$（$x = -1$）的距离为$|-1 - 0| = 1$，
$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
综上，$\triangle ABC$的面积为$1$。
答案：
(1)$z = 1 + i$或$z = -1 - i$；
(2)$1$。