《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,$AD= 2,AB= 1,∠BAD= 60^{\circ }$,平面$PCD⊥$平面ABCD,点M为PC上一点.
(1)若$PA//$平面MBD,求证:点M为PC中点.
(2)求证:平面$MBD⊥$平面PCD.

答案：
【证明】
(1) 连接 $ AC $ 交 $ BD $ 于 $ O $，连接 $ OM $，如图所示。

因为 $ PA // $ 平面 $ MBD $，$ PA \subset $ 平面 $ PAC $，平面 $ PAC \cap $ 平面 $ MBD = OM $，所以 $ PA // OM $。因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ O $ 是 $ AC $ 的中点，所以 $ M $ 是 $ PC $ 的中点。
(2) 在 $ \triangle ABD $ 中，$ AD = 2 $，$ AB = 1 $，$ \angle BAD = 60^\circ $，所以 $ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos \angle BAD = 3 $，所以 $ AD^2 = AB^2 + BD^2 $，所以 $ AB \perp BD $。因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ AB // CD $，所以 $ BD \perp CD $。又因为平面 $ PCD \perp $ 平面 $ ABCD $，且平面 $ PCD \cap $ 平面 $ ABCD = CD $，$ BD \subset $ 平面 $ ABCD $，所以 $ BD \perp $ 平面 $ PCD $。因为 $ BD \subset $ 平面 $ MBD $，所以平面 $ MBD \perp $ 平面 $ PCD $。

17.(15分)如图所示,在斜三棱柱$A_{1}B_{1}C_{1}-ABC$中,底面是等腰三角形,$AB= AC$,D是BC的中点,侧面$BB_{1}C_{1}C⊥$底面ABC.
(1)求证:$AD⊥CC_{1};$
(2)过侧面$BB_{1}C_{1}C的对角线BC_{1}$的平面交侧棱于点M,若$AM= MA_{1}$,求证:截面$MBC_{1}⊥侧面BB_{1}C_{1}C;$
(3)若截面$MBC_{1}⊥平面BB_{1}C_{1}C$,则$AM= MA_{1}$吗? 请叙述你的判断理由.

答案：
【解析】
(1) 因为 $ AB = AC $，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，所以 $ AD \perp BC $。 因为底面 $ ABC \perp $ 平面 $ BB_1C_1C $，底面 $ ABC \cap $ 平面 $ BB_1C_1C = BC $，所以 $ AD \perp $ 平面 $ BB_1C_1C $。又 $ CC_1 \subset $ 平面 $ BB_1C_1C $，所以 $ AD \perp CC_1 $。
(2) 如图，延长 $ B_1A_1 $，$ BM $ 交于点 $ N $，连接 $ C_1N $。

因为 $ AM = MA_1 $，所以 $ NA_1 = A_1B_1 $。因为 $ A_1C_1 = A_1N = A_1B_1 $，所以 $ C_1N \perp B_1C_1 $，所以 $ C_1N \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $。又 $ C_1N \subset $ 平面 $ BNC_1 $，所以截面 $ C_1NB \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $。所以截面 $ MBC_1 \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $。
(3) $ AM = MA_1 $。 证明如下：过 $ M $ 作 $ ME \perp BC_1 $ 于点 $ E $，连接 $ DE $，因为截面 $ MBC_1 \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $，所以 $ ME \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $。又 $ AD \perp $ 侧面 $ BB_1C_1C $，所以 $ ME // AD $，所以 $ M $，$ E $，$ D $，$ A $ 四点共面。因为 $ MA // $ 侧面 $ BB_1C_1C $，平面 $ MADE \cap $ 平面 $ BB_1C_1C = DE $，所以 $ AM // DE $。所以四边形 $ AMED $ 是平行四边形，$ AM = DE $，又 $ AM // CC_1 $，所以 $ DE // CC_1 $。因为 $ BD = CD $，所以 $ DE = \frac{1}{2}CC_1 $，所以 $ AM = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}AA_1 $，所以 $ AM = MA_1 $。