《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

17.如图,$\triangle ADM$是等腰直角三角形,$AD\perp DM$,四边形$ABCM$是直角梯形,$AB\perp BC$,$MC\perp BC$,且$AB = 2BC = 2CM = 2$,平面$ADM\perp平面ABCM$.
(1)求证:$AD\perp BM$;

(2)若点$E是线段DB$上的一动点,问点$E$在何位置时,三棱锥$M - ADE的体积为\frac{\sqrt{2}}{18}$.

答案： 【解析】（1）因为四边形 $ ABCM $ 是直角梯形，$ AB \perp BC $，$ MC \perp BC $，$ AB = 2BC = 2MC = 2 $，所以 $ BM = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $，$ AM = \sqrt{(2 - 1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $，则 $ AM^2 + BM^2 = AB^2 $，所以 $ AM \perp MB $。
　因为平面 $ ADM \perp $ 平面 $ ABCM $，平面 $ ADM \cap $ 平面 $ ABCM = AM $，$ BM \subset $ 平面 $ ABCM $，所以 $ BM \perp $ 平面 $ DAM $，又 $ DA \subset $ 平面 $ DAM $，所以 $ AD \perp BM $。
　（2）由（1）可知 $ BM \perp $ 平面 $ ADM $，$ BM = \sqrt{2} $，设 $ \frac{DE}{BD} = \lambda $，则 $ E $ 到平面 $ ADM $ 的距离为 $ B $ 到平面 $ ADM $ 的距离的 $ \lambda $ 倍，即 $ E $ 到平面 $ ADM $ 的距离 $ d = \sqrt{2}\lambda $。
　因为 $ \triangle ADM $ 是等腰直角三角形，$ AD \perp DM $，$ AM = \sqrt{2} $，所以 $ AD = DM = 1 $，所以 $ V_{M - ADE} = V_{E - ADM} = \frac{1}{3}S_{\triangle ADM} \cdot d = \frac{\sqrt{2}}{18} $，即 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × 1 × 1 × \sqrt{2}\lambda = \frac{\sqrt{2}}{18} $，所以 $ \lambda = \frac{1}{3} $，所以 $ E $ 为线段 $ BD $ 上靠近点 $ D $ 的三等分点。