《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

12. 已知向量$\boldsymbol{a}= (1,m),\boldsymbol{b}= (3,1)$,若$\boldsymbol{a}⊥\boldsymbol{b}$,则m $=$-3.

答案： 【解析】因为$a⊥b$,所以$a\cdot b=3+m=0$,所以$m=-3.$答案:$-3$

13. 在$\triangle ABC$中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若$a= \sqrt {7},b= 2,A= 60^{\circ }$,则$sinB= $$\frac {\sqrt {21}}{7}$,$c= $3.

答案： $\frac {\sqrt {21}}{7}$ 3

14. 如图所示为一角槽,已知$AB⊥AD,AB⊥BE$,并测量得$AC= 3mm,BC= $$2\sqrt {2}mm,AB= \sqrt {29}mm$,则$∠ACB= $______$\frac {3π}{4}$.

答案： $\frac {3π}{4}$

15. (13分)已知向量$\boldsymbol{a}和\boldsymbol{b}$,$|\boldsymbol{a}|= 2,|\boldsymbol{b}|= 2,\langle \boldsymbol{a},$$\boldsymbol{b}\rangle =60^{\circ }$.求:
(1)$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}$的值;
(2)$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$的值;
(3)$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}与\boldsymbol{b}$的夹角θ的余弦值.

答案：
(1)解：因为$|\boldsymbol{a}|=2$，$|\boldsymbol{b}|=2$，$\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle =60^{\circ }$，所以$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle =2× 2× \cos 60^{\circ }=2× 2× \frac{1}{2}=2$。
(2)解：因为$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，又因为$\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}=4$，$\boldsymbol{b}^{2}=|\boldsymbol{b}|^{2}=4$，$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=2$，所以$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=4× 4 + 4× 2 + 4=16 + 8 + 4=28$，所以$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
(3)解：因为$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=2× 2 + 4=4 + 4=8$，又因为$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2\sqrt{7}$，$|\boldsymbol{b}|=2$，所以$\cos\theta=\frac{(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{b}}{|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}||\boldsymbol{b}|}=\frac{8}{2\sqrt{7}× 2}=\frac{8}{4\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。

16. (15分)记$\triangle ABC$的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\frac {cosA}{1+sinA}= \frac {sin2B}{1+cos2B}$.
(1)若$C= \frac {2π}{3}$,求B;
(2)求$\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$的最小值.

答案：
(1)解：因为$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}=\frac{2\sin B\cos B}{2\cos^2 B}=\frac{\sin B}{\cos B}$，
所以$\cos A\cos B=\sin B(1+\sin A)$，
即$\sin B=\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B)=-\cos C$。
已知$C=\frac{2\pi}{3}$，则$\cos C=-\frac{1}{2}$，所以$\sin B=\frac{1}{2}$。
又因为$0\lt B\lt\pi-C=\frac{\pi}{3}$，所以$B=\frac{\pi}{6}$。
(2)解：由
(1)知$\sin B=-\cos C\gt0$，所以$\frac{\pi}{2}\lt C\lt\pi$，$0\lt B\lt\frac{\pi}{2}$。
因为$\sin B=\sin(C-\frac{\pi}{2})$，所以$C=\frac{\pi}{2}+B$，则$A=\pi-B-C=\frac{\pi}{2}-2B$，且$0\lt A\lt\frac{\pi}{2}$，即$0\lt B\lt\frac{\pi}{4}$。
由正弦定理得$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{\sin^2 A+\sin^2 B}{\sin^2 C}$。
因为$A=\frac{\pi}{2}-2B$，$C=\frac{\pi}{2}+B$，所以$\sin A=\cos 2B$，$\sin C=\cos B$。
则$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{\cos^2 2B+\sin^2 B}{\cos^2 B}=\frac{(2\cos^2 B-1)^2+1-\cos^2 B}{\cos^2 B}=4\cos^2 B+\frac{2}{\cos^2 B}-5$。
令$t=\cos^2 B$，因为$0\lt B\lt\frac{\pi}{4}$，所以$\frac{1}{2}\lt t\lt1$。
则$4t+\frac{2}{t}-5\geq2\sqrt{4t\cdot\frac{2}{t}}-5=4\sqrt{2}-5$，当且仅当$4t=\frac{2}{t}$，即$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号。
所以$\frac{a^2+b^2}{c^2}$的最小值为$4\sqrt{2}-5$。