《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

13. 如图,在细绳O处用水平力$F_{2}$缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为$F_{1}$.
(1)判断$|F_{1}|,|F_{2}|$随θ的变化而变化的情况;
(2)当$|F_{1}|≤2|G|$时,求角θ的取值范围.

答案：
【解析】
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知，$-\overrightarrow{G}=\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}$.如图所示，根据直角三角形可得$|\overrightarrow{F_{1}}|=\frac{|\overrightarrow{G}|}{\cos\theta}$，$|\overrightarrow{F_{2}}|=|\overrightarrow{G}|\cdot\tan\theta$.当$\theta$从$0^{\circ}$趋近$90^{\circ}$时，$|\overrightarrow{F_{1}}|$，$|\overrightarrow{F_{2}}|$都逐渐增大.
(2)令$|\overrightarrow{F_{1}}|=\frac{|\overrightarrow{G}|}{\cos\theta}\leq2|\overrightarrow{G}|$，因为$0^{\circ}\leq\theta＜90^{\circ}$，得$\cos\theta\geq\frac{1}{2}$，所以$0^{\circ}\leq\theta\leq60^{\circ}$.故角$\theta$的取值范围为$\{\theta|0^{\circ}\leq\theta\leq60^{\circ}\}$.

14. (1)在$\triangle ABC$中,$(a+b+c)(a+b-c)= 3ab且2cosAsinB= sinC$,试判断该三角形的形状;
(2)在$\triangle ABC$中,若$acosB+acosC= b+c$,试判断该三角形的形状.

答案： 【解析】
(1)因为$A + B + C = 180^{\circ}$，所以$\sin C = \sin(A + B)$.因为$2\cos A\sin B = \sin C$，所以$2\cos A\sin B = \sin A\cos B + \cos A\sin B$，所以$\sin A\cos B - \cos A\sin B = 0$，所以$\sin(A - B) = 0$.因为$0^{\circ}＜A＜180^{\circ}$，$0^{\circ}＜B＜180^{\circ}$，所以$-180^{\circ}＜A - B＜180^{\circ}$，所以$A - B = 0^{\circ}$，即$A = B$.又$(a + b + c)(a + b - c) = 3ab$，所以$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$，所以$\cos C=\frac{1}{2}$.因为$0^{\circ}＜C＜180^{\circ}$，所以$C = 60^{\circ}$，所以△ABC为等边三角形.
(2)由$a\cos B + a\cos C = b + c$，结合余弦定理得$a\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+a\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=b + c$，即$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}=b + c$，整理得$(b + c)(a^{2}-b^{2}-c^{2}) = 0$.因为$b + c\neq0$，所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，故△ABC是直角三角形.

15. 记$\triangle ABC$的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为$S_{1},S_{2},S_{3}$,已知$S_{1}-S_{2}+S_{3}= \frac {\sqrt {3}}{2},sinB= \frac {1}{3}$.
(1)求$\triangle ABC$的面积;
(2)若$sinAsinC= \frac {\sqrt {2}}{3}$,求b.

答案： 【解析】
(1)由题意得$S_{1}=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，$S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$，$S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}c^{2}$，则$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}c^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2$.由余弦定理得$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，整理得$ac\cos B = 1$，则$\cos B＞0$.又$\sin B=\frac{1}{3}$，则$\cos B=\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$ac=\frac{1}{\cos B}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
(2)由正弦定理得：$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，则$\frac{b^{2}}{\sin^{2}B}=\frac{a}{\sin A}\cdot\frac{c}{\sin C}=\frac{ac}{\sin A\sin C}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9}{4}$，则$\frac{b}{\sin B}=\frac{3}{2}$，$b=\frac{3}{2}\sin B=\frac{1}{2}$.