《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1. 袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,否则记为C,那么事件A与B,A与C的关系是 (A)
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立

答案： A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件 $ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ C $ 均相互独立，且 $ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ C $ 均有可能同时发生，说明 $ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ C $ 均不互斥。

2. 如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为 (B)

A.0.504
B.0.994
C.0.496
D.0.064

答案： B

3. 已知A,B是相互独立事件,若$P(A)= 0.2$,$P(AB+\overline {A}B+A\overline {B})= 0.44$,则$P(B)$等于 (0.3)
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6

答案： A 因为 $ A $，$ B $ 是相互独立事件，所以 $ \overline{A} $，$ B $ 和 $ A $，$ \overline{B} $ 均相互独立。因为 $ P(A)=0.2 $，$ P(AB+\overline{A}B+A\overline{B}) = 0.44 $，所以 $ P(A)P(B)+P(\overline{A})P(B)+P(A)P(\overline{B}) = 0.44 $，所以 $ 0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1 - P(B)] = 0.44 $，解得 $ P(B)=0.3 $。

4. 打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,两人互不干扰,若两人同时射击一次,则他们都中靶的概率是 (A)
A.$\frac {14}{25}$
B.$\frac {12}{25}$
C.$\frac {3}{4}$
D.$\frac {3}{5}$

答案： A

5. 社区开展“军事知识竞赛”,甲、乙两人能获得一等奖的概率分别为$\frac {3}{5}和\frac {2}{3}$,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 ($\frac{13}{15}$)
A.$\frac {3}{5}$
B.$\frac {2}{15}$
C.$\frac {13}{15}$
D.$\frac {8}{15}$

答案： C 由题意可知，甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为 $ (1 - \frac{3}{5})×(1 - \frac{2}{3}) = \frac{2}{15} $，故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为 $ 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15} $。

6. 先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 (D)
A.$\frac {1}{8}$
B.$\frac {3}{8}$
C.$\frac {5}{8}$
D.$\frac {7}{8}$

答案： D

7. (多选题)大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术,在AI算法的驱动下,无论是编辑图文、视频,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个,图片b张$(a,b\in \mathbf{N}且a＞b＞1)$.从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是 (BC)
A.$P(A)= P(B)+P(C)$
B.$P(A)= P(B)\cdot P(C)$
C.$P(\overline {A})＞P(\overline {B}C)+P(B\overline {C})$
D.$P(\overline {B}C)\lt P(B\overline {C})$

答案： BC 显然事件 $ B $，$ C $ 相互独立，且 $ A = BC $，于是 $ P(A)=P(B)·P(C) $，所以 A 错误，B 正确；事件 $ \overline{A} $ 包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况，因此 $ P(\overline{A}) = P(\overline{B}C)+P(B\overline{C})+P(\overline{B}\overline{C}) $，则 $ P(\overline{A}) ＞ P(\overline{B}C)+P(B\overline{C}) $，所以 C 正确；依题意，$ P(\overline{B}C)=P(\overline{B})P(C)=(1 - \frac{1}{a})·\frac{1}{b}=\frac{a - 1}{ab} $，$ P(B\overline{C})=P(B)P(\overline{C}) = \frac{1}{a}·(1 - \frac{1}{b})=\frac{b - 1}{ab} $，而 $ a,b∈N $ 且 $ a ＞ b ＞ 1 $，因此 $ \frac{a - 1}{ab} ＞ \frac{b - 1}{ab} $，即 $ P(\overline{B}C) ＞ P(B\overline{C}) $，所以 D 错误。

8. (多选题)某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,则两次抽奖中 (CD)
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975

答案： CD 记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 $ A $，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件 $ B $，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件 $ AB $。由于两次抽奖结果互不影响，因此 $ A $ 与 $ B $ 相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 $ P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05 = 0.0025 $。同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率 $ P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B}) = 0.95×0.95 = 0.9025 $；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用 $ (A\overline{B})∪(\overline{A}B) $ 表示。由于事件 $ A\overline{B} $ 与 $ \overline{A}B $ 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 $ P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.05×(1 - 0.05)+(1 - 0.05)×0.05 = 0.095 $；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用 $ (AB)∪(A\overline{B})∪(\overline{A}B) $ 表示。由于事件 $ AB $，$ A\overline{B} $ 和 $ \overline{A}B $ 两两互斥，据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 $ P(AB)+P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=0.0025 + 0.095 = 0.0975 $。

9. 甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一球,则取到相同颜色的球的概率是$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

10. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为$\frac {16}{25}$,则该队员每次罚球的命中率为$\frac{3}{5}$.

答案： $\frac{3}{5}$

11. 事件A,B,C相互独立,如果$P(AB)= \frac {1}{6}$,$P(\overline {B}C)= \frac {1}{8}$,$P(AB\overline {C})= \frac {1}{8}$,则$P(B)=$$\frac{1}{2}$,$P(\overline {A}B)=$$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$