《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到如表:
|电影类型|第一类|第二类|第三类|第四类|第五类|第六类|
|电影部数|140|50|300|200|800|510|
|好评率|0.4|0.2|0.15|0.25|0.2|0.1|
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?

答案： 【解析】
(1)由题意知，样本中电影的总部数是 $140 + 50+300 + 200+800+510 = 2000$，第四类电影中获得好评的电影部数是 $200×0.25 = 50$，
故所求概率为 $\frac{50}{2000}=0.025$.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 $140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 = 56+10+45+50+160+51 = 372$，
故所求概率估计为 $1-\frac{372}{2000}=0.814$.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.

15.某险种的基本保费为$a$(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示:
|上年度出险次数|0|1|2|3|4|$\geqslant 5$|
|保费|$0.85a$|$a$|$1.25a$|$1.5a$|$1.75a$|$2a$|
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到统计表:
|出险次数|0|1|2|3|4|$\geqslant 5$|
|频数|60|50|30|30|20|10|
(1)记$A$为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求$P(A)$的估计值.
(2)记$B$为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求$P(B)$的估计值.
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

答案： 【解析】
(1)事件 $A$ 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 $\frac{60 + 50}{200}=0.55$，故 $P(A)$ 的估计值为 0.55.
(2)事件 $B$ 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 $\frac{30 + 30}{200}=0.3$，故 $P(B)$ 的估计值为 0.3.
(3)由所给数据得
| 保费 | $0.85a$ | $a$ | $1.25a$ | $1.5a$ | $1.75a$ | $2a$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频率 | $0.30$ | $0.25$ | $0.15$ | $0.15$ | $0.10$ | $0.05$ |
调查的 200 名续保人的平均保费为 $0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05 = 1.1925a$.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为 $1.1925a$.