《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1.在△OAB中,P为线段AB上的一点,$\overrightarrow {OP}= x\overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}$,且$\overrightarrow {BP}= 2\overrightarrow {PA}$,则 (A)
A.$x= \frac {2}{3},y= \frac {1}{3}$
B.$x= \frac {1}{3},y= \frac {2}{3}$
C.$x= \frac {1}{4},y= \frac {3}{4}$
D.$x= \frac {3}{4},y= \frac {1}{4}$

答案： 1. A 因为$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$，所以$\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{PO}+2\overrightarrow{OA}$，即$3\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，即$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{1}{3}$。

2.在$□ ABCD$中,$\overrightarrow {AD}= (3,7),\overrightarrow {AB}= (-2,3)$,对称中心为O,则$\overrightarrow {CO}$等于 (B)
A.$(-\frac {1}{2},5)$
B.$(-\frac {1}{2},-5)$
C.$(\frac {1}{2},-5)$
D.$(\frac {1}{2},5)$

答案： 2. B

3.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (B)
A.$e_{1}= (0,0),e_{2}= (1,-2)$
B.$e_{1}= (-1,2),e_{2}= (5,7)$
C.$e_{1}= (3,5),e_{2}= (6,10)$
D.$e_{1}= (2,-3),e_{2}= (\frac {1}{2},-\frac {3}{4})$

答案： 3. B

4.已知两点$A(4,1),B(7,-3)$,则与向量$\overrightarrow {AB}$共线的单位向量是 (B)
A.$(3,-4)$
B.$(-\frac {3}{5},\frac {4}{5})$
C.$(-6,8)$
D.$(\frac {4}{5},-\frac {3}{5})$

答案： 4. B

5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量$a= (0,1),b= (2,x)$,若$b⊥(b-4a)$,则$x= $ (D)
A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 5. D 因为$b\perp(b - 4a)$，所以$b\cdot(b - 4a)=0$，则$4 + x(x - 4)=0$，解得$x = 2$。

6.已知向量$a= (1,\sqrt {3}),b= (-2,2\sqrt {3})$,则a与b的夹角是 (C)
A.$\frac {π}{6}$
B.$\frac {π}{4}$
C.$\frac {π}{3}$
D.$\frac {π}{2}$

答案： 6. C

7.(多选题)下列各结论不正确的是 (ACD)
A.若$a= (-2,4),b= (3,4)$,则$a-b= (1,0)$
B.若$a= (5,2),b= (2,4)$,则$b-a= (-3,2)$
C.若$a= (1,0),b= (0,1)$,则$a+b= (0,1)$
D.若$a= (1,1),b= (1,-2)$,则$a+b= (2,1)$

答案： 7. ACD

8.(多选题)已知向量$e_{1}= (-1,2),e_{2}= (2,1)$,若$a= \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}$,则可使$\lambda _{1}\lambda _{2}＜0$成立的a可能是 (AC)
A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(-1,0)$
D.$(0,-1)$

答案： 8. AC 由已知得$a=\lambda_{1}(-1,2)+\lambda_{2}(2,1)=(-\lambda_{1}+2\lambda_{2},2\lambda_{1}+\lambda_{2})$，若$\lambda_{1}\lambda_{2}\lt0$，则$-\lambda_{1}+2\lambda_{2}\neq0$，排除 B，D。对于 A，$(1,0)=(-\lambda_{1}+2\lambda_{2},2\lambda_{1}+\lambda_{2})$，所以$\begin{cases}-\lambda_{1}+2\lambda_{2}=1\\2\lambda_{1}+\lambda_{2}=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda_{1}=-\frac{1}{5}\\\lambda_{2}=\frac{2}{5}\end{cases}$，$\lambda_{1}\lambda_{2}\lt0$成立；对于 C，$(-1,0)=(-\lambda_{1}+2\lambda_{2},2\lambda_{1}+\lambda_{2})$，所以$\begin{cases}-\lambda_{1}+2\lambda_{2}=-1\\2\lambda_{1}+\lambda_{2}=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda_{1}=\frac{1}{5}\\\lambda_{2}=-\frac{2}{5}\end{cases}$，$\lambda_{1}\lambda_{2}\lt0$成立。

9.已知向量$a= (m,3),b= (1,m+1)$.若$a⊥b$,则$m=$$-\frac{3}{4}$.

答案： 9. [解析]由题意知，$a\cdot b=m + 3(m + 1)=0$，解得$m=-\frac{3}{4}$。答案：$-\frac{3}{4}$

10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,$AD= \frac {1}{2}AB,BE= \frac {2}{3}BC$,若$\overrightarrow {DE}= \lambda _{1}\overrightarrow {AB}+\lambda _{2}\overrightarrow {AC}(\lambda _{1},\lambda _{2}$为实数),则$\lambda _{1}+\lambda _{2}$的值为____.

答案：
10. [解析]如图所示，由题意知，$D$为$AB$的中点，$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda_{1}=-\frac{1}{6}$，$\lambda_{2}=\frac{2}{3}$，所以$\lambda_{1}+\lambda_{2}=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$。

答案：$\frac{1}{2}$

11.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则$\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {CB}$的值为1,$\overrightarrow {DE}\cdot \overrightarrow {DC}$的最大值为1.

答案： 11. 1 1

12.在平面直角坐标系中,O为原点,$A(-1,0),B(0,\sqrt {3}),C(3,0)$,动点D满足$|\overrightarrow {CD}|= 1$,则$|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OD}|$的最大值是____$\sqrt{7}+1$.

答案： 12. $\sqrt{7}+1$

13.已知$a= (-1,2),b= (2,1)$,求:
(1)$2a+3b$.
(2)$a-3b$.
(3)$\frac {1}{2}a-\frac {1}{3}b$.

答案：
(1)解：$2a + 3b = 2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7)$。
(2)解：$a - 3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1)$。
(3)解：$\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b=\frac{1}{2}(-1,2)-\frac{1}{3}(2,1)=(-\frac{1}{2},1)-(\frac{2}{3},\frac{1}{3})=(-\frac{7}{6},\frac{2}{3})$。