《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14. 在复平面内,O是原点,向量$\overrightarrow {OA}对应的复数为2+i$.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量$\overrightarrow {OB}$对应的复数.
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.

答案：
(1)解：向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$2+i$，则点A的坐标为$(2,1)$。
点A关于实轴的对称点B的坐标为$(2,-1)$，故向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$2 - i$。
(2)解：点B的坐标为$(2,-1)$，其关于虚轴的对称点C的坐标为$(-2,-1)$，故点C对应的复数为$-2 - i$。

15. 已知复数$z_{1}= -\sqrt {3}+i,z_{2}= -\frac {1}{2}-\frac {\sqrt {3}}{2}i$.
(1)求$|z_{1}|与|z_{2}|$的值,并比较它们的大小;
(2)设复平面内,复数z满足$|z_{2}|≤|z|≤|z_{1}|$,复数z对应的点Z的集合是什么?

答案：
【解析】
(1)$|z_{1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = 2$，$|z_{2}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = 1$。因为$2 ＞ 1$，所以$|z_{1}| ＞ |z_{2}|$。
(2)由
(1)知$|z_{2}| ≤ |z| ≤ |z_{1}|$，则$1 ≤ |z| ≤ 2$。因为不等式$|z| ≥ 1$的解集是圆$|z| = 1$上和该圆外部所有点的集合，不等式$|z| ≤ 2$的解集是圆$|z| = 2$上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件$1 ≤ |z| ≤ 2$的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界。