《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1.(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则$\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {DB}= $ (BCD)

A.$\overrightarrow {FD}$
B.$\overrightarrow {EC}$
C.$\overrightarrow {BE}$
D.$\overrightarrow {DF}$

答案： BCD 因为 D，E，F 分别是 $\triangle ABC$ 的边 AB，BC，CA 的中点，
所以 $DF // BE$，且 $DF = BE$，$DF // EC$，
且 $DF = EC$，所以 $\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EC}$，
所以 $\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{EC}$。

2.已知下列各式:①$\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {BA}$;②$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC}$;③$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {CO}$.其中结果为零向量的个数为 (2)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \boldsymbol{0}$；
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = \boldsymbol{0}$；$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO}$。
所以结果为零向量的个数为 2。

3.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,$|\overrightarrow {BC}|^{2}= 16,|\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}|= |\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}|$,则$|\overrightarrow {AM}|= $ (C)
A.8
B.4
C.2
D.1

答案： C

4.设$\boldsymbol {e}_{1},\boldsymbol {e}_{2}$是两个不共线的向量,若向量$\boldsymbol {a}= 2\boldsymbol {e}_{1}-\boldsymbol {e}_{2}$,与向量$\boldsymbol {b}= \boldsymbol {e}_{1}+\lambda \boldsymbol {e}_{2}(\lambda \in \mathbf{R})$共线,则λ的值为 (D)
A.0
B.-1
C.-2
D.$-\frac {1}{2}$

答案： D

5.在△ABC中,点D在边AB上,$BD= 2DA$,记$\overrightarrow {CA}= \boldsymbol {m},\overrightarrow {CD}= \boldsymbol {n}$,则$\overrightarrow {CB}= $ (B)
A.$3\boldsymbol {m}-2\boldsymbol {n}$
B.$-2\boldsymbol {m}+3\boldsymbol {n}$
C.$3\boldsymbol {m}+2\boldsymbol {n}$
D.$2\boldsymbol {m}+3\boldsymbol {n}$

答案： B

6.在△ABC中,若$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB}^{2}= 0$,则$\overrightarrow {BC}在\overrightarrow {BA}$上的投影向量为 ($\overrightarrow{BA}$)
A.$\overrightarrow {BA}$
B.$\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}$
C.$\overrightarrow {AC}$
D.$\frac {1}{2}\overrightarrow {CA}$

答案： A 因为 $0 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$，所以 $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$，
又 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 的夹角为锐角，所以 $\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{BA}$ 上的投影向量为 $\overrightarrow{BA}$。

7.(多选题)在平行四边形ABCD中,下列结论正确的是 (ABD)
A.$\overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$
B.$\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}$
C.$\overrightarrow {BD}= \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}$
D.$\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}= \boldsymbol {0}$

答案： ABD

8.(多选题)设向量$\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}$满足$|\boldsymbol {a}|= |\boldsymbol {b}|= 1$,且$|\boldsymbol {b}-2\boldsymbol {a}|= \sqrt {5}$,则以下结论正确的是 (AC)
A.$\boldsymbol {a}\perp \boldsymbol {b}$
B.$|\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}|= 2$
C.$|\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}|= \sqrt {2}$
D.$\langle \boldsymbol {a},\boldsymbol {b}\rangle =60^{\circ }$

答案： AC $|a| = |b| = 1$，且 $|b - 2a| = \sqrt{5}$，平方得 $b^2 + 4a^2 - 4a \cdot b = 5$，即 $a \cdot b = 0$，
可得 $a \perp b$，$\langle a, b \rangle = 90^\circ$，A 正确，D 错误；$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2a \cdot b = 2$，可得 $|a + b| = \sqrt{2}$，B 错误；$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b = 2$，可得 $|a - b| = \sqrt{2}$，C 正确。

9.设向量$\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}的夹角的余弦值为\frac {1}{3}$,且$|\boldsymbol {a}|= 1$,$|\boldsymbol {b}|= 3$,则$(2\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b})\cdot \boldsymbol {b}= $11.

答案： 【解析】由题意可得 $a \cdot b = 1 × 3 × \frac{1}{3} = 1$，$b^2 = 9$，则 $(2a + b) \cdot b = 2a \cdot b + b^2 = 2 + 9 = 11$。
答案：11

10.已知向量$\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}的夹角为45^{\circ }$,且$|\boldsymbol {a}|= 4$,$(\frac {1}{2}\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b})\cdot (2\boldsymbol {a}-3\boldsymbol {b})= 12$,则$|\boldsymbol {b}|= $$\sqrt{2}$,$\boldsymbol {b}在\boldsymbol {a}$方向上的投影等于______.

答案： $\sqrt{2}$

11.已知$|\boldsymbol {a}|= 1,|\boldsymbol {b}|= 2,\boldsymbol {a}与\boldsymbol {b}的夹角为60^{\circ },\boldsymbol {c}= \lambda \boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}与\boldsymbol {d}= \boldsymbol {a}+2\boldsymbol {b}$的夹角为锐角,则λ的取值范围为$\left\{ \lambda \left| \lambda ＞ -3 \text{ 且 } \lambda \neq \frac{1}{2} \right. \right\}$.

答案： $\left\{ \lambda \left| \lambda ＞ -3 \text{ 且 } \lambda \neq \frac{1}{2} \right. \right\}$

12.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量$\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}满足|\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}|= \sqrt {3},|\boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}|= |2\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b}|$,则$|\boldsymbol {b}|= $$\sqrt{3}$.

答案： 【命题意图】本题考查平面向量的基本运算。
【解析】由 $|a + b| = |2a - b|$，得 $a^2 = 2a \cdot b$；由 $|a - b| = \sqrt{3}$，得 $a^2 - 2a \cdot b + b^2 = 3$，即 $b^2 = 3$，$|b| = \sqrt{3}$。
答案：$\sqrt{3}$

13.已知向量$\overrightarrow {AB}= \boldsymbol {a}+5\boldsymbol {b},\overrightarrow {BC}= -2\boldsymbol {a}+8\boldsymbol {b},\overrightarrow {CD}= 3(\boldsymbol {a}-\boldsymbol {b})$,
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)求证:$\overrightarrow {CA}= x\overrightarrow {CB}+y\overrightarrow {CD}$(其中$x+y= 1$).

答案： 【证明】
(1) 因为 $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = -2a + 8b + 3(a - b) = a + 5b$，$\overrightarrow{AB} = a + 5b$，
所以 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$，所以 $\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{BD}$，
又 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$ 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线。
(2) 因为 $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} = 2a - 8b - a - 5b = a - 13b$，
$x \overrightarrow{CB} + y \overrightarrow{CD} = x(2a - 8b) + 3y(a - b) = (2x + 3y)a + (-8x - 3y)b$，
所以 $\begin{cases} 2x + 3y = 1, \\ -8x - 3y = -13, \end{cases}$
所以 $\begin{cases} x = 2, \\ y = -1, \end{cases}$
所以 $\overrightarrow{CA} = x \overrightarrow{CB} + y \overrightarrow{CD}$，其中 $x + y = 1$。