《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知$z= \frac {1-i}{2+2i}$,则$z-\overline {z}= $ (-i)
A.-i
B.i
C.0
D.1

答案： A [命题意图]本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念及运算，意在考查学生的运算能力.
[解析]因为$z = \frac{1 - i}{2 + 2i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2i}{4} = -\frac{1}{2}i$，所以$\overline{z} = \frac{1}{2}i$，$z - \overline{z} = -\frac{1}{2}i - \frac{1}{2}i = -i$.

2.如图,在复平面内,复数$z_{1},z_{2}对应的向量分别是\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}$,则$|z_{1}+z_{2}|= $ (B)

A.1
B.$\sqrt {5}$
C.2
D.3

答案： B

3.若$i(1-z)= 1$,则$z+\overline {z}= $(D)
A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： D

4.设i是虚数单位,则复数$\frac {2i}{1-i}$在复平面内所对应的点位于 (B)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： B $\frac{2i}{1 - i} = \frac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2(i - 1)}{2} = -1 + i$，由复数的几何意义知$-1 + i$在复平面内的对应点为$(-1,1)$，该点位于第二象限.

5.若复数z满足$i\cdot z= 3-4i$,则$|z|= $ (B)
A.1
B.5
C.7
D.25

答案： B

6.已知复数$z= \frac {\sqrt {3}+i}{(1-\sqrt {3}i)^{2}},\overline {z}$是z的共轭复数,则$z\cdot \overline {z}=$ (A)
A.$\frac {1}{4}$
B.$\frac {1}{2}$
C.1
D.2

答案： A

7.(多选题)若$z_{1}= 2a+i,z_{2}= -2+ai(a∈R)$,且在复平面内$z_{1}+z_{2}$所对应的点在坐标轴上,则a的值可能为 (CD)
A.3
B.2
C.1
D.-1

答案： CD $z_1 + z_2 = 2a + i - 2 + ai = (2a - 2) + (1 + a)i$，因为在复平面内$z_1 + z_2$所对应的点在坐标轴上，所以$2a - 2 = 0$或$1 + a = 0$，所以$a = 1$或$a = -1$.

8.(多选题)已知$a∈R$,i是虚数单位,若$z= a+\sqrt {3}i,z\cdot \overline {z}= 4$,则$a= $ (AB)
A.-1
B.1
C.$-\sqrt {3}$
D.$\sqrt {3}$

答案： AB

9.在复平面内,若$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}对应的复数分别为7+i,3-2i$,则$|\overrightarrow {AB}|= $5.

答案： 9. 5

10.已知复数z满足$z\cdot (2+i)= 1+2i$,则$z=$$\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

答案： 10. [解析]由$z \cdot (2 + i) = 1 + 2i$，可得$z = \frac{1 + 2i}{2 + i} = \frac{(1 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 + 3i - 2i^2}{5} = \frac{4 + 3i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.
答案：$\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$

11.已知$z_{1}= (3x-4y)+(y-2x)i,z_{2}= (-2x+y)+(x-3y)i$,x,y为实数,若$z_{1}-z_{2}= 5-3i$,则$|z_{1}+z_{2}|= $$\sqrt{2}$.

答案： 11. $\sqrt{2}$

12.设复数z满足$|z-3-4i|= 1$,则$|z|$的最大值为______6.

答案： 12. [解析]因为$|z - 3 - 4i| = 1$，所以复数$z$所对应点在以$C(3,4)$为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得$|z|$的最大值是$\sqrt{3^2 + 4^2} + 1 = 6$.
答案：6

13.复数$z_{1}= 1+2i,z_{2}= -2+i,z_{3}= -1-2i$,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

答案：
13. [解析]设复数$z_1,z_2,z_3$在复平面内所对应的点分别为$A,B,C$，正方形的第四个顶点$D$对应的复数为$x + yi(x,y \in R)$，如图.

则$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = (x,y) - (1,2) = (x - 1,y - 2)$.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (-1,-2) - (-2,1) = (1,-3)$.
因为$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$，所以$\begin{cases}x - 1 = 1\\y - 2 = -3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}$，
故点$D$对应的复数为$2 - i$.