《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

17.(15分)已知复数$z= (2+i)(i-3)+4-2i.$
(1)求复数z的共轭复数$\overline {z}及|z|.$
(2)若复数$z_{1}= z+(a^{2}-2a)+ai(a∈R)$是纯虚数,求实数a的值.

答案：
(1)解：$z=(2+i)(i-3)+4-2i$
$=2i-6+i^{2}-3i+4-2i$
$=2i-6-1-3i+4-2i$
$=-3-3i$
$\overline{z}=-3+3i$
$|z|=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}=3\sqrt{2}$
(2)解：$z_{1}=z+(a^{2}-2a)+ai$
$=-3-3i+(a^{2}-2a)+ai$
$=(a^{2}-2a-3)+(a-3)i$
因为$z_{1}$是纯虚数，所以$\left\{\begin{array}{l} a^{2}-2a-3=0\\ a-3\neq 0\end{array}\right.$
由$a^{2}-2a-3=0$得$(a-3)(a+1)=0$，解得$a=3$或$a=-1$
又$a-3\neq 0$，所以$a\neq 3$，故$a=-1$

18.(17分)已知复数$z_{1}= i(1-i)^{3}.$
(1)求$|z_{1}|.$
(2)若$|z|= 1$,求$|z-z_{1}|$的最大值.

答案：
(1)解：$z_{1}=i(1-i)^{3}$
$=i(1-3i+3i^{2}-i^{3})$
$=i(1-3i-3+i)$
$=i(-2-2i)$
$=-2i-2i^{2}$
$=2-2i$
$|z_{1}|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}$
(2)解：因为$|z|=1$，设$z=\cos\theta+i\sin\theta$
$|z-z_{1}|=|\cos\theta+i\sin\theta-(2-2i)|$
$=|\cos\theta-2+i(\sin\theta+2)|$
$=\sqrt{(\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}}$
$=\sqrt{\cos^{2}\theta-4\cos\theta+4+\sin^{2}\theta+4\sin\theta+4}$
$=\sqrt{(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+(-4\cos\theta+4\sin\theta)+8}$
$=\sqrt{1+4(\sin\theta-\cos\theta)+8}$
$=\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})}$
当$\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=1$时，$|z-z_{1}|$取得最大值$\sqrt{9+4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+1$
答案：
(1)$2\sqrt{2}$；
(2)$2\sqrt{2}+1$