《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

17. 某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下表:
|消费次数|第1次|第2次|第3次|第4次|5次及以上|
|收费比例|1|0.95|0.90|0.85|0.80|
该公司从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下表:
|消费次数|第1次|第2次|第3次|第4次|5次及以上|
|频数|60|20|10|5|5|
假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率.
(2)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润.
(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出8人,再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率.

答案： 17.【解析】
(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为$\frac{40}{100}=0.4$。
(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为$200 - 150 = 50$（元），第2次消费时，公司获得的利润为$200 × 0.95 - 150 = 40$（元），所以，公司获得的平均利润为$\frac{50 + 40}{2}=45$（元）。
(3)因为$20:10:5:5 = 4:2:1:1$，所以用分层随机抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$，消费3次的有2人，分别设为$B_{1},B_{2}$，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为$C,D$，从中抽出2人，抽到$A_{1}$的有$A_{1}A_{2},A_{1}A_{3},A_{1}A_{4},A_{1}B_{1},A_{1}B_{2},A_{1}C,A_{1}D$，共7种；去掉$A_{1}$后，抽到$A_{2}$的有$A_{2}A_{3},A_{2}A_{4},A_{2}B_{1},A_{2}B_{2},A_{2}C,A_{2}D$，共6种；…去掉$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2}$后，抽到$C$的有：$CD$，共1种，总的抽取方法有$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$（种），其中恰有1人消费两次的抽取方法有$4 + 4 + 4 + 4 = 16$（种），所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为$\frac{16}{28}=\frac{4}{7}$。