《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

11. 在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点$M(4,4\sqrt {2})在直观图中的对应点是M'$,则线段$O'M'$的长度为______.

答案：
【解析】如图所示，
　　　
则线段$O'M'$的长度为$\sqrt{4^{2} + (2\sqrt{2})^{2} - 2×4×2\sqrt{2}×\cos135^{\circ}} = 2\sqrt{10}$。
答案：$2\sqrt{10}$

12. 在如图直观图中,四边形$O'A'B'C'$为菱形且边长为2 cm,则在$xOy$坐标系中原四边形OABC为矩形(填形状),面积为8$cm^{2}$.

答案： 矩形 $8$

13. 如图,正方形$O'A'B'C'$的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.

答案：
【解析】如图，建立平面直角坐标系$xOy$，
　　　　
在$x$轴上取$OA = O'A' = 1\mathrm{cm}$，在$y$轴上取$OB = 2O'B' = 2\sqrt{2}\mathrm{cm}$，在过点$B$的$x$轴的平行线上取$BC = B'C' = 1\mathrm{cm}$。顺次连接$O$，$A$，$B$，$C$各点，即得到了原图形。由作法可知，四边形$OABC$为平行四边形，$OC = \sqrt{OB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{8 + 1} = 3(\mathrm{cm})$，所以平行四边形$OABC$的周长为$(3 + 1)×2 = 8(\mathrm{cm})$，面积为$1×2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\mathrm{cm}^{2})$。

14. 如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标为$O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5)$. 试画出四边形$ABCD$的直观图.

答案：
【解析】画法：
(1)画轴。如图1，建立坐标系$x'O'y'$，其中$∠x'O'y' = 45^{\circ}$。
(2)描点。在原图中作$AE \perp x$轴于点$E$，垂足为$E(1,0)$，在$x'$轴上截取$O'E' = OE$，作$A'E' // y'$轴，截取$A'E' = \frac{1}{2}AE = 1.5$。同理确定点$B'$，$C'$，$D'$，其中$B'G' = 0.5$，$C'H' = 3$，$D'F' = 2.5$。
(3)连线。连接$A'B'$，$B'C'$，$C'D'$，$D'A'$。
(4)成图。如图2，四边形$A'B'C'D'$即为四边形$ABCD$的直观图。
　

15. 用斜二测画法画出底面边长为$\sqrt {2}cm$,侧棱长为2 cm的正四棱锥的直观图.

答案：
【解析】
(1)画轴。如图①所示，画$x$轴、$y$轴、$z$轴，三轴交于点$O$，且$∠xOy = 45^{\circ}$，$∠xOz = 90^{\circ}$。
(2)画底面，以点$O$为中心，在$xOy$平面内，画出边长为$\sqrt{2}\mathrm{cm}$的正方形的直观图$ABCD$。
(3)画四棱锥的顶点。在$z$轴上截取线段$OP$，使$OP = \sqrt{3}\mathrm{cm}$。
(4)成图。连接$PA$，$PB$，$PC$，$PD$，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得正四棱锥的直观图，如图②所示。