《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

15.如图所示,已知三棱锥$P - ABC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CB = 4$,$AB = 20$,$D为AB$的中点,且$\triangle PDB$是正三角形,$PA\perp PC$.
(1)求证:平面$PAC\perp平面ABC$;
(2)求二面角$D - AP - C$的正弦值;
(3)若$M为PB$的中点,求三棱锥$M - BCD$的体积.

答案： 【解析】（1）因为 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，$ \triangle PDB $ 是正三角形，$ AB = 20 $，所以 $ PD = \frac{1}{2}AB = 10 $，所以 $ \triangle PAB $ 为直角三角形且 $ \angle APB = 90^{\circ} $，所以 $ AP \perp PB $。
　又 $ AP \perp PC $，$ PB \cap PC = P $，所以 $ AP \perp $ 平面 $ PBC $；又 $ BC \subset $ 平面 $ PBC $，所以 $ AP \perp BC $。
　又 $ AC \perp BC $，$ AP \cap AC = A $，所以 $ BC \perp $ 平面 $ PAC $；又 $ BC \subset $ 平面 $ ABC $，所以平面 $ PAC \perp $ 平面 $ ABC $。
　（2）因为 $ PA \perp PC $，且 $ PA \perp PB $，所以 $ \angle BPC $ 是二面角 $ D - AP - C $ 的平面角。
　由（1）知 $ BC \perp $ 平面 $ PAC $，则 $ BC \perp PC $，所以 $ \sin \angle BPC = \frac{BC}{PB} = \frac{2}{5} $。
　（3）因为 $ D $ 为 $ AB $ 的中点，$ M $ 为 $ PB $ 的中点，所以 $ DM // PA $，故 $ DM = 5\sqrt{3} $。
　由（1）知 $ PA \perp $ 平面 $ PBC $，所以 $ DM \perp $ 平面 $ PBC $。
　因为 $ S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2}S_{\triangle PBC} = 2\sqrt{21} $，所以 $ V_{M - BCD} = V_{D - BCM} = \frac{1}{3} × 5\sqrt{3} × 2\sqrt{21} = 10\sqrt{7} $。

16.如图,$D$为圆锥的顶点,$O$是圆锥底面的圆心,$AE$为底面直径,$AE = AD$.$\triangle ABC$是底面的内接正三角形,$P为DO$上一点,$PO = \frac{\sqrt{6}}{6}DO$.
(1)证明:$PA\perp平面PBC$;
(2)求二面角$B - PC - E$的余弦值.

答案：
【解析】（1）设 $ DO = a $，由题设可得 $ PO = \frac{\sqrt{6}}{6}a $，$ AO = \frac{\sqrt{3}}{3}a $，$ AB = a $，$ PA = PB = PC = \frac{\sqrt{2}}{2}a $。
　因此 $ PA^2 + PB^2 = AB^2 $，从而 $ PA \perp PB $。又 $ PA^2 + PC^2 = AC^2 $，从而 $ PA \perp PC $。
　因为 $ PB \cap PC = P $，所以 $ PA \perp $ 平面 $ PBC $。
　（2）以 $ O $ 为坐标原点，$ \overrightarrow{OE} $ 的方向为 $ y $ 轴正方向，$ |\overrightarrow{OE}| $ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 $ O - xyz $。
　　　　
　由题设可得 $ E(0,1,0) $，$ A(0, - 1,0) $，$ C\left( - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2},0 \right) $，$ P\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $。
　所以 $ \overrightarrow{EC} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2},0 \right) $，$ \overrightarrow{EP} = \left(0, - 1,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $。设 $ \boldsymbol{m} = (x,y,z) $ 是平面 $ PCE $ 的法向量，则 $ \begin{cases} \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EP} = 0 \\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{EC} = 0 \end{cases} $，即 $ \begin{cases} - y + \frac{\sqrt{2}}{2}z = 0 \\ - \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y = 0 \end{cases} $，可取 $ \boldsymbol{m} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{2} \right) $。
　由（1）知 $ \overrightarrow{AP} = \left(0,1,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ 是平面 $ PCB $ 的一个法向量，记 $ \boldsymbol{n} = \overrightarrow{AP} $，则 $ \cos \langle \boldsymbol{n},\boldsymbol{m} \rangle = \frac{\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}| |\boldsymbol{m}|} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $。
　所以二面角 $ B - PC - E $ 的余弦值为 $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $。