《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

18.(17分)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,$\triangle EAB,\triangle FBC,\triangle GCD,\triangle HDA$均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明:$EF//$平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

答案：
【解析】
(1) 如图所示：

分别取 $ AB $，$ BC $ 的中点 $ M $，$ N $，连接 $ MN $，$ EM $，$ FN $，因为 $ \triangle EAB $，$ \triangle FBC $ 为全等的正三角形，所以 $ EM \perp AB $，$ FN \perp BC $，$ EM = FN $，又平面 $ EAB \perp $ 平面 $ ABCD $，平面 $ EAB \cap $ 平面 $ ABCD = AB $，$ EM \subset，$ 平面 $ EAB $，所以 $ EM \perp $ 平面 $ ABCD $，同理可得 $ FN \perp $ 平面 $ ABCD $，根据线面垂直的性质定理可知 $ EM // FN $，而 $ EM = FN $，所以四边形 $ EMNF $ 为平行四边形，所以 $ EF // MN $，又 $ EF \not\subset $ 平面 $ ABCD $，$ MN \subset $ 平面 $ ABCD $，所以 $ EF // $ 平面 $ ABCD $；
(2) 如图所示：

分别取 $ AD $，$ DC $ 中点 $ K $，$ L $，由
(1)知，$ EF // MN $ 且 $ EF = MN $，同理有，$ HE // KM $，$ HE = KM $，$ HG // KL $，$ HG = KL $，$ GF // LN $，$ GF = LN $，由平面知识可知，$ BD \perp MN $，$ MN \perp MK $，$ KM = MN = NL = LK $，所以该几何体的体积等于长方体 $ MNLK - EFGH $ 的体积加上四棱锥 $ B - MNFE $ 体积的 $ 4 $ 倍。因为 $ MN = NL = LK = KM = 4\sqrt{2} \ cm $，$ EM = 8 \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \ cm $，点 $ B $ 到平面 $ MNFE $ 的距离即为点 $ B $ 到直线 $ MN $ 的距离 $ d $，$ d = 2\sqrt{2} \ cm $，所以该几何体的体积 $ V = (4\sqrt{2})^2 × 4\sqrt{3} + 4 × \frac{1}{3} × 4\sqrt{2} × 4\sqrt{3} × 2\sqrt{2} = 128\sqrt{3} + \frac{256}{3}\sqrt{3} = \frac{640}{3}\sqrt{3}(cm^3) $。

19.(17分)如图,在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,边BC的中点为D,$BC= CC_{1}= 2$.
(1)求三棱锥$C-AC_{1}D$的体积.
(2)点E在线段$B_{1}C_{1}$上,且$A_{1}E//平面AC_{1}D$,求$\frac {B_{1}E}{EC_{1}}$的值.

答案：
【解析】
(1) 因为 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 为正三棱柱，所以 $ C_1C \perp $ 平面 $ ABC $，所以三棱锥 $ C - AC_1D $ 的体积 $ V_{C - AC_1D} = V_{C_1 - ACD} = \frac{1}{3}S_{\triangle ACD} \cdot C_1C = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} × 2 = \frac{\sqrt{3}}{3} $。
(2) 连接 $ A_1C $ 交 $ AC_1 $ 于 $ F $，连接 $ EC $ 交 $ C_1D $ 于 $ G $，连接 $ FG $。

因为 $ A_1E // $ 平面 $ AC_1D $，$ A_1E \subset $ 平面 $ A_1CE $，平面 $ A_1CE \cap $ 平面 $ AC_1D = FG $，所以 $ A_1E // FG $，因为 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 为正三棱柱，所以侧面 $ ACC_1A_1 $ 和侧面 $ BCC_1B_1 $ 为平行四边形，从而有 $ F $ 为 $ A_1C $ 的中点，于是 $ G $ 为 $ EC $ 的中点，所以 $ EC_1 = DC $，因为 $ D $ 为边 $ BC $ 的中点，所以 $ E $ 为边 $ B_1C_1 $ 的中点，所以 $ \frac{B_1E}{EC_1} = 1 $。