《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

15. 某市2所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游,活动分为两条线路:华东五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中,高一教师占$42.5\%$,高二教师占$47.5\%$,高三教师占$10\%$.
参加华东五市游的教师占参加活动总人数的$\frac{1}{4}$,且该组中,高一教师占$50\%$,高二教师占$40\%$,高三教师占$10\%$.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定:
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例.
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.

答案： 15. 【解析】
(1)设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，
则有$\frac{x·40\% + 3xb}{4x} = 47.5\%$，
$\frac{x·10\% + 3xc}{4x} = 10\%$，解得$b = 50\%$，$c = 10\%$.
故$a = 100\% - 50\% - 10\% = 40\%$，即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%，50%，10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为$200×\frac{3}{4}×40\% = 60$；抽取的高二教师人数为$200×\frac{3}{4}×50\% = 75$；抽取的高三教师人数为$200×\frac{3}{4}×10\% = 15$.