《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

13. 已知在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB= $ $AA_{1}= 2,AD= 4$,$E为侧面ABB_{1}A_{1}$的中心, $F为A_{1}D_{1}$的中点。试计算：
(1)$\overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {ED_{1}}$；
(2)$\overrightarrow {BF}\cdot \overrightarrow {AB_{1}}$；
(3)$\overrightarrow {EF}\cdot \overrightarrow {FC_{1}}$。

答案：
【解析】如图，设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$，$\overrightarrow{AA_1}=c$，则$|a| = |c| = 2$，$|b| = 4$，$a\cdot b = b\cdot c = c\cdot a = 0$。
　　　　
(1) $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ED_1}=b\cdot[\frac{1}{2}(c - a)+b]=|b|^2 = 4^2 = 16$。
(2) $\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AB_1}=(c - a+\frac{1}{2}b)\cdot(a + c)=|c|^2 - |a|^2 = 2^2 - 2^2 = 0$。
(3) $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FC_1}=[\frac{1}{2}(c - a)+\frac{1}{2}b]\cdot(\frac{1}{2}b + a)=\frac{1}{2}(-a + b + c)\cdot(\frac{1}{2}b + a)=-\frac{1}{2}|a|^2+\frac{1}{4}|b|^2 = 2$。

14. 如图,设$O为平行四边形ABCD$所在平面外 任意一点,$E为OC$的中点,若$\overrightarrow {AE}= \frac {1}{2}\overrightarrow {OD}+$ $x\overrightarrow {OB}+y\overrightarrow {OA}$,求$x,y$的值。

答案： 解：因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$
$=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$
$=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$
$=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC})$
$=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AB})$
$=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$
$=-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$
又因为$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OA}$
所以$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{3}{2}$
答案：$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{3}{2}$

15. 如图,在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,$M,N$分别是 $A_{1}B,B_{1}C_{1}$上的点,且$BM= 2A_{1}M,C_{1}N= $ $2B_{1}N$。设$\overrightarrow {AB}= a,\overrightarrow {AC}= b,\overrightarrow {AA_{1}}= c$。
(1)试用$a,b,c表示向量\overrightarrow {MN}$；
(2)若$∠BAC= 90^{\circ },∠BAA_{1}= ∠CAA_{1}= $ $60^{\circ },AB= AC= AA_{1}= 1$,求$MN$的长。

答案： 【解析】
(1) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1N}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B_1C_1}=\frac{1}{3}(c - a)+a+\frac{1}{3}(b - a)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c$。
(2) 因为$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2a\cdot b + 2b\cdot c + 2a\cdot c = 1 + 1 + 1 + 0 + 2×1×1×\frac{1}{2}+2×1×1×\frac{1}{2}=5$，所以$|a + b + c|=\sqrt{5}$，所以$|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{3}|a + b + c|=\frac{\sqrt{5}}{3}$，即$MN = \frac{\sqrt{5}}{3}$。