《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

15. 如图所示,B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求证:平面MNG//平面ACD;
(2)求S△MNG:S△ACD.

答案：
【解析】（1）如图，连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H三点，
　　　　　
因为M，N，G分别是$\triangle ABC$，$\triangle ABD$，$\triangle BCD$的重心，所以$\frac{BM}{MP}=\frac{BN}{NF}=\frac{BG}{GH}=2$，连接PF，FH，PH，有$MN// PF$。又因为$PF\subset$平面ACD，$MN\not\subset$平面ACD，所以$MN//$平面ACD。同理$MG//$平面ACD，又因为$MG\cap MN=M$，所以平面$MNG//$平面ACD。
（2）由（1）可知$\frac{MG}{PH}=\frac{BG}{BH}=\frac{2}{3}$，所以$MG=\frac{2}{3}PH$。又因为$PH=\frac{1}{2}AD$，所以$MG=\frac{1}{3}AD$。同理$NG=\frac{1}{3}AC$，$MN=\frac{1}{3}CD$，所以$\triangle MNG\backsim\triangle DCA$，所以$S_{\triangle MNG}:S_{\triangle ACD}=(NG:CA)^{2}=(1:3)^{2}=1:9$。

16. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,E为侧棱PD(不含端点)上的动点.
(1)是否存在一点E,使得PB//平面AEC?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(2)若点F在CD上,且PE:ED= CF:FD,在棱PA(不含端点)上是否存在点G,使得平面BCG//平面AEF?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.

答案：
【解析】（1）存在。当E为PD的中点时，$PB//$平面AEC。证明如下：如图，连接BD，设$AC\cap BD=O$，则O为BD的中点。连接EO，由E，O分别为PD，BD的中点，知EO为$\triangle PBD$的中位线，所以$EO// PB$。又$EO\subset$平面AEC，$PB\not\subset$平面AEC，所以$PB//$平面AEC。
　　　　
（2）不存在符合题意的点G。理由如下：假设存在点G满足题意。如图，因为平面$BCG\cap$平面$ABCD=BC$，平面$AEF\cap$平面$ABCD=AF$，又平面$BCG//$平面AEF，所以$BC// AF$。又在菱形ABCD中，$BC// AD$，所以在平面ABCD内，过A点有两条直线AF，AD同时平行于BC，矛盾，所以，在棱PA（不含端点）上不存在点G，使得平面$BCG//$平面AEF。