《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

8. (多选题)如图,在菱形$ABCD$中,$\angle DAB= 120^{\circ}$,则以下说法正确的是(ABC)

A.与$\overrightarrow{AB}$相等的向量只有一个(不含$\overrightarrow{AB}$)
B.与$\overrightarrow{AB}$的模相等的向量有9个(不含$\overrightarrow{AB}$)
C.$\overrightarrow{BD}的模恰为\overrightarrow{DA}的模的\sqrt{3}$倍
D.$\overrightarrow{CB}与\overrightarrow{DA}$不共线

答案： ABC

9. 设在平面上给定了一个四边形$ABCD$,点$K$,$L$,$M$,$N分别是AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量$\overrightarrow{KL}$相等的向量是______.

答案：
【解析】因为K,L分别是AB,BC的中点，连接AC,所以$KL// AC$，$KL=\frac{1}{2}AC$，同理$MN// AC$，$MN=\frac{1}{2}AC$，所以$KL// MN$，$KL=MN$，所以$\overrightarrow{KL}=$____.
　　　　
答案：$\overrightarrow{NM}$

10. 如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等,这两个向量是$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{AE}$,它们的模都等于$\sqrt{10}$.
(2)存在着共线向量,这些共线的向量是$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{HF}$,它们的模的和等于$5\sqrt{2}$.

答案： 【解析】
(1)模相等的两个向量是$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{AE}$，$|\overrightarrow{CH}|=|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
(2)共线的向量是$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{HF}$，且$|\overrightarrow{DG}|+|\overrightarrow{HF}|=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
答案：
(1)$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{AE}$ $\sqrt{10}$
(2)$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{HF}$ $5\sqrt{2}$

11. 已知$A$,$B$,$C$是不共线的三点,向量$\boldsymbol{m}与向量\overrightarrow{AB}$是平行向量,与$\overrightarrow{BC}$是共线向量,则$\boldsymbol{m}=$0.

答案： 0

12. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,则下列结论正确的是______②.(填序号)

答案： 12.②

13. 如图,在矩形$ABCD$中,$AD= 2AB= 2$,$M$,$N分别为AD和BC$的中点,以$A$,$B$,$C$,$D$,$M$,$N$为起点和终点作向量,回答下列问题：
(1)在模为1的向量中,相等的向量有多少对？
(2)在模为$\sqrt{2}$的向量中,相等的向量有多少对？

答案：
【解析】
(1)在模为1的向量中,相等的向量有:①$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$，共有6对;②$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CN}$，共有6对;③$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$，共有3对;④$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{CD}$，共有3对;所以在模为1的向量中，相等的向量共有$6+6+3+3=18$(对).
　　　　
(2)在模为$\sqrt{2}$的向量中，相等的向量有：$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ND}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DN}$.共有4对.