《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

16.如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,则$\overrightarrow {OP}= x\overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}$.
(1)若$\overrightarrow {AP}= \overrightarrow {PB}$,求x,y的值;
(2)若$\overrightarrow {AP}= 3\overrightarrow {PB},|\overrightarrow {OA}|= 4,|\overrightarrow {OB}|= 2$,且$\overrightarrow {OA}与\overrightarrow {OB}的夹角为60^{\circ }$,求$\overrightarrow {OP}\cdot \overrightarrow {AB}$的值.

答案： 【解析】
(1) 若 $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PB}$，则 $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，故 $x = y = \frac{1}{2}$。
(2) 因为 $|\overrightarrow{OA}| = 4$，$|\overrightarrow{OB}| = 2$，$\angle BOA = 60^\circ$，
所以 $\angle OBA = 90^\circ$，所以 $|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{3}$。
又因为 $\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{PB}$，所以 $|\overrightarrow{PB}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以 $|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{2^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{19}}{2}$，
$\cos \angle OPB = \frac{\sqrt{57}}{19}$。
设 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为 $\theta$，
所以 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{57}}{19}$。
所以 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{AB}|\cos \theta = -3$。

17.已知向量$\boldsymbol {a}与\boldsymbol {b}$的夹角为θ,定义$\boldsymbol {a}× \boldsymbol {b}为\boldsymbol {a}与\boldsymbol {b}$的“向量积”,且$\boldsymbol {a}× \boldsymbol {b}$是一个向量,它的长度$|\boldsymbol {a}× \boldsymbol {b}|= |\boldsymbol {a}||\boldsymbol {b}|\sin \theta$,若$|\boldsymbol {u}|= 2,|\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}|= 2\sqrt {3},(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v})\cdot \boldsymbol {u}= 6$,求$|\boldsymbol {u}× (\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v})|$.

答案： 【解析】设 $u$ 与 $u + v$ 的夹角为 $\theta$，
由题意知，$\cos \theta = \frac{u \cdot (u + v)}{|u||u + v|} = \frac{6}{2 × 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以 $\sin \theta = \frac{1}{2}$，由定义知 $|u × (u + v)| = |u| \cdot |u + v| \sin \theta = 2 × 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$。