《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一数学人教版》

14.已知在△ABC中,$A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1)$,AD为BC边上的高,
(1)求点D的坐标;
(2)求高AD的长.

答案：
(1)设点$D$的坐标为$(x,y)$，则$\overrightarrow{AD}=(x - 2,y + 1)$，$\overrightarrow{BC}=(-6,-3)$，$\overrightarrow{BD}=(x - 3,y - 2)$。
因为点$D$在直线$BC$上，所以$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{BC}$共线，
则$(x - 3)×(-3)=-6×(y - 2)$，化简得$x - 2y + 1 = 0$①。
因为$AD$为$BC$边上的高，所以$\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，即$-6(x - 2)-3(y + 1)=0$，化简得$2x + y - 3 = 0$②。
联立①②，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，
所以点$D$的坐标为$(1,1)$。
(2)由
(1)知$\overrightarrow{AD}=(-1,2)$，
则$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(-1)^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，
所以高$AD$的长为$\sqrt{5}$。

15.(1)已知点A,B,D的坐标分别是$(0,-1),(-5,1),(7,2)$,且$\overrightarrow {DC}// \overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC}⊥\overrightarrow {AB}$,求点C的坐标;
(2)已知向量$a= (-2,3)$,点$A(2,-1)$,点$O(0,0)$,若向量$\overrightarrow {AB}$与a平行,且$|\overrightarrow {AB}|= 2\sqrt {13}$,求向量$\overrightarrow {OB}$的坐标.

答案：
(1)设点$C$的坐标为$(x,y)$，则$\overrightarrow{DC}=(x - 7,y - 2)$，$\overrightarrow{AB}=(-5 - 0,1 - (-1))=(-5,2)$，$\overrightarrow{BC}=(x - (-5),y - 1)=(x + 5,y - 1)$。
因为$\overrightarrow{DC}//\overrightarrow{AB}$，所以$-5(y - 2)-2(x - 7)=0$，即$2x + 5y = 24$①。
因为$\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AB}$，所以$-5(x + 5)+2(y - 1)=0$，即$5x - 2y = -27$②。
联立①②，$\begin{cases}2x + 5y = 24\\5x - 2y = -27\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 3\\y = 6\end{cases}$，所以点$C$的坐标为$(-3,6)$。
(2)设$\overrightarrow{OB}=(m,n)$，则$\overrightarrow{AB}=(m - 2,n - (-1))=(m - 2,n + 1)$。
因为向量$\overrightarrow{AB}$与$a=(-2,3)$平行，所以$3(m - 2)-(-2)(n + 1)=0$，即$3m + 2n = 4$①。
又因为$|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{13}$，所以$(m - 2)^2+(n + 1)^2=(2\sqrt{13})^2=52$②。
联立①②，$\begin{cases}3m + 2n = 4\\(m - 2)^2+(n + 1)^2=52\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 2\\n = 5\end{cases}$或$\begin{cases}m = 6\\n = - 7\end{cases}$，所以$\overrightarrow{OB}$的坐标为$(-2,5)$或$(6,-7)$。